HENRI POINCARÉ
LA CIENCIA Y LA HIPÓTESIS ( FRAGMENTOS )
ò
POINCARÉ, Henri: La Ciencia y la Hipótesis, trad. por
Alfredo B. Besio y Josér Banfi, Bs. As., Espasa-Calpe, 1943,
fragmentos.
ò
POINCARÉ, Henri: Ciencia y método, trad. por M. García
Miranda y L. Alonso, Bs. As., Espasa-Calpe, 1944, Libros Primero y Segundo,
fragmentos.
ÍNDICE
Prólogo
Introducción
Primera
parte.
Cap.
I
Cap.
II
Segunda
parte.
Cap.
III
Cap.
IV
Cap.
V
Tercera
parte.
Cap.
VI
Cap.
VII
Cap.
VIII
Cuarta
parte.
Cap.
IX
Cap.
X
Cap.
XI
Cap.
XII
Cap.
XIII
Cap.
XIV
Prólogo
Introducción
p.
15:
"¿Cuál es la naturaleza del razonamiento matemático? ¿Es realmente
deductivo como realmente se cree? Un análisis profundo nos muestra que no es
así; que participa en una cierta medida de la naturaleza del razonamiento
inductivo, y que por eso es fecundo. [...]"
p.
15/ 16:
"[...] ¿Nos es revelado el espacio por nuestros sentidos? Tampoco, pues
aquel que nuestros sentidos podrían mostrarnos difiere absolutamente del
geómetra. [...]"
Primera
parte.
Cap.
I
p.
21:
"[...] ya Leibnitz trataba de demostrar que 2 y 2 son 4;
[...]"
Cap.
II
p.
36:
"[...] El continuo, [...] no es más que una colección de individuos
[—puntos—] dispuestos en un cierto orden, en número infinito, es verdad, pero exteriores los unos a los otros. No es
ésta la concepción ordinaria en la cual se supone, entre los elementos del
continuo, una especie de vínculo íntimo, que hace de ellos un todo;
[...]"
p.
39:
"[...] ley de Fechner, según la cual la sensación sería proporcional al
logaritmo de la excitación."
p.
41:
"Permítaseme, a fin de abreviar el lenguaje, llamar continuo matemático
de primer orden, a todo conjunto de términos formados conforme a la misma ley
que la escala de los números conmensurables [—racionales—]. Si intercalamos en
seguida escalones nuevos, según la ley de formación de los números
inconmensurables, obtendríamos lo que llamaremos un continuo de segundo
orden."
p.
42:
"Por eso se dice que dos líneas que se cortan tienen un punto en común y
esta verdad parece intuitiva. Pero implicaría contradicción si se concibieran
las líneas como continuos de primer orden, [...]"
p.
43:
"[...] reconocemos en eso la concepción de Kronecker, según la cual un
número inconmensurable es considerado como frontera común de dos clases de
números racionales. Tal es el origen del continuo de segundo orden, que es el
continuo matemático propiamente dicho."
p.
44:
"Se sabe que los matemáticos distinguen infinitésimos de diferentes
órdenes, [...]"
p.
45/ 46:
"[...] Se puede demostrar que hay curvas que no tienen tangente, si la
curva está definida como un continuo analítico de segundo
orden."
p.
48:
"En esta forma se define la noción de continuo físico de varias
dimensiones gracias al hecho muy simple de que dos conjuntos de sensaciones sean
distinguibles o no."
Segunda
parte.
Cap.
III
p.
49:
"[...] toda ciencia deductiva, y la geometría en particular, debe
descansar sobre un cierto número de axiomas indemostrables.
[...]"
p.
51/ 52, 54 y 59:
La geometría de Riemann es la geometría esférica extendida a tres
dimensiones. La de dos dimensiones sería la de la superficie de una esfera
habitada por seres chatos; en ella, la distancia más corta entre dos puntos para
ellos sería una recta, pero en realidad es un arco de la circunferencia de la
esfera. Esta superficie es positiva (convexa). En realidad esta geometría es un
caso particular de muchas otras postuladas por él.
La geometría de Lobatchevsky es igual pero de curvatura negativa
(cóncava).
p.
55:
"[...] nadie duda de que la geometría ordinaria no esté exenta de
contradicción. [...]"
p.
60:
"[...] Veronese y Hilbert han imaginado nuevas geometrías[...], que
llaman no arquimedianas. Las
construyen desechando el axioma de
Arquímedes [. El] espacio no arquimediano no es más un continuo de segundo
orden, para emplear el lenguaje del capítulo precedente, sino un continuo de
tercer orden."
p.
60 y 62:
"[...] Puesto que muchas geometrías son posibles, ¿es cierto que sea la
nuestra la verdadera? La experiencia nos enseña, sin duda, que la suma de los
ángulos de un triángulo es igual a dos rectos, pero esto porque no operamos más
que con triángulos pequeños; la diferencia según Lobatchevsky es proporcional a
la superficie del triángulo. ¿No podrá hacerse sensible cuando operamos con
triángulos más grandes o cuando nuestras medidas lleguen a ser más precisas? La
geometría euclidiana no sería así más que una geometría provisoria. Para
discutir esta opinión debemos preguntarnos primero cuál es la naturaleza de los
axiomas geométricos. [...] Los axiomas
geométricos no son, pues, ni juicios sintéticos a priori ni hechos
experimentales. Son convenciones [...]. Entonces, ¿qué se debe pensar de
esta pregunta? ¿Es verdadera la geometría euclideana? La pregunta no tiene
ningún sentido. [...] Una geometría no puede ser más verdadera que otra;
solamente puede ser más
cómoda."
Cap.
IV
p.
65 (ídem 58):
"[...] la línea recta es una línea tal que toda figura de la cual forme
parte no puede moverse sin que las distancias mutuas de sus puntos varíen, y de
tal manera que todos los puntos de esa línea permanezcan fijos». En efecto, he
aquí una propiedad que en el espacio euclidiano o no euclidiano pertenece a la
recta y sólo a ella. [...]"
p.
66:
Algunas de las propiedades más esenciales del espacio geométrico propiamente dicho:
"1º Es continuo. 2º Es infinito. 3º Tiene tres dimensiones. 4º Es homogéneo, es
decir que todos sus puntos son idénticos entre sí. 5º Es isótropo, es decir que
todas las rectas que pasan por un mismo punto son idénticas entre
sí."
p.
67/ 68:
"[La] percepción de la tercera dimensión se reduce a la sensación del
esfuerzo de acomodación que es preciso dar a los dos ojos para percibir
distintamente un objeto. Esas sensaciones son musculares, del todo diferentes a
las sensaciones visuales que nos han dado la noción de las dos primeras
dimensiones. La tercera dimensión no se nos aparecerá entonces desempeñando el
mismo papel que las otras dos. Lo que se puede llamar espacio visual completo no es, pues, un
espacio isótropo. [Así, la] tercera dimensión nos es revelada de dos maneras
diferentes: por el esfuerzo de acomodación y por la convergencia de los ojos.
[...] Pero esto es, por decirlo así, un hecho experimental; a priori nada impide suponer lo
contrario, y si ocurre lo contrario, si esas dos sensaciones musculares varían
[—tal vez en un bizco—] independientemente una de otra, tendremos que considerar
una variable independiente más y el «espacio visual completo» se nos presentará
como un continuo físico de cuatro dimensiones."
p.
68:
"«El espacio táctil» es más complicado aún que el espacio visual y se
aparta más del espacio geométrico. [...]"
p.
69:
"[También,] el espacio motor
tendría tantas dimensiones como músculos tenemos."
p.
69/ 70 y 76:
"De este modo el espacio representativo, en su triple forma, visual,
táctil y motriz, es esencialmente distinto del espacio geométrico. No es
homogéneo ni isótropo; no se puede decir tampoco que tenga tres dimensiones.
[...] Nuestras representaciones sólo son la reproducción de nuestras
sensaciones; no pueden, pues, colocarse sino en el mismo marco que ellas, es
decir en el espacio representativo. [...] No nos representamos, pues, los cuerpos
exteriores en el espacio geométrico, pero razonamos sobre ellos como si estuvieran
situados en el espacio geométrico.
[Con respecto al mundo no euclideano, se] concibe entonces que seres cuya
educación se hiciera en un medio donde esas leyes fueran así trastornadas,
podrían tener una geometría muy diferente a la nuestra."
p.
70:
"[...] ¿qué se quiere significar cuando se dice que «localizamos» tal
objeto en tal punto del espacio? Eso
significa simplemente que nos representamos los movimientos que es preciso hacer
para alcanzar ese objeto; y que no se dice que para representar esos movimientos,
es necesario proyectarlos en el espacio, y que la noción de espacio debe
preexistir por consiguiente. Cuando digo que nos representamos estos movimientos
quiero decir solamente que nos representamos sólo las sensaciones musculares que
les acompañan y que no tienen ningún carácter geométrico y que, en consecuencia,
no implican en ninguna forma, la preexistencia de la noción de
espacio."
p.
74:
"Por tanto, si no hubiera cuerpos
sólidos en la naturaleza, no habría geometría."
p.
74:
"[Dos cuerpos diferentes —y que producen por lo tanto sensaciones
diferentes— se desplazan, uno luego del otro, se desplazan desde iguales
posiciones a iguales destinos. A] esos dos cambios los consideramos como
desplazamientos, o mejor aún, los consideramos como el mismo desplazamiento.
¿Cómo ocurre esto? Simplemente porque ambos pueden ser corregidos por el mismo
movimiento correlativo de nuestro cuerpo. Es, pues, el «movimiento correlativo»
que constituye el único vínculo entre
dos fenómenos que de otra manera no hubiéramos soñado jamás
relacionar."
p.
77 (ídem 81):
"[...] para nosotros, la geometría sólo es el estudio de las leyes según
las cuales se mueven los sólidos invariables [—en sus formas—],
[...]."
p.
80:
"Las imágenes de los objetos exteriores vienen a pintarse sobre la
retina, que es un cuadro de dos dimensiones; son representativas. Pero como esos
objetos son móviles y como también lo es nuestro ojo, vemos sucesivamente
distintas perspectivas de un mismo cuerpo, tomadas desde varios puntos de vista
distintos."
p.
81/ 82 y 96:
[Hablando de los objetos sólidos.] "La noción de esos cuerpos ideales
está sacada totalmente de nuestro espíritu, y la experiencia sólo es una ocasión
que nos ayuda a hacerla surgir. [...] La experiencia nos guía en esta
elección que no nos impone y no nos
hace reconocer cuál es la geometría más verdadera, sino cuál es la más cómoda. [...] Se quiere decir que,
por selección natural, nuestra mente se ha adaptado a las combinaciones del mundo
exterior, que ha adoptado [—la mente—] la geometría más ventajosa para la especie, o, en
otros términos, la más cómoda.
[...]"
Cap.
V
p.
83, 85 y 89:
"[...] los principios de la geometría no son hechos experimentales y que,
en particular, el postulado de Euclides no podría ser demostrado por la
experiencia. [...] Ninguna experiencia estará jamás en contradicción con el
postulado de Euclides; asimismo, ninguna experiencia estará jamás en
contradicción con el postulado de Lobatchevsky [—por decir cualquiera—]. [...]
Las experiencias no nos hacen conocer más que las relaciones de los cuerpos
entre sí, ninguna lleva ni puede llevar a las relaciones de los cuerpos con el
espacio, o a las relaciones mutuas de las diversas partes del espacio. [...]
Conocer la altura del palo mayor no es suficiente para calcular la edad del
capitán. [...]"
p.
83/ 89:
"Constrúyase un círculo material: mídase el radio de la circunferencia y
trátese de ver si la relación de esas longitudes es igual a p. ¿Qué se habrá hecho? Se habrá hecho
una experiencia, no sobre las propiedades del espacio, sino sobre aquellas de la
substancia con la cual se ha trazado el redondel, y de aquella de que está hecho
el metro que ha servido para las medidas. [...] Las experiencias se han realizado, pues, no
sobre el espacio, sino sobre los cuerpos."
p.
86/ 87:
"[...] el estado de los cuerpos y sus distancias mutuas en un instante
cualquiera depende solamente del estado de esos mismos cuerpos y de sus
distancias mutuas en el instante inicial, pero no dependerán de ningún modo de
la posición absoluta inicial del sistema y de su orientación absoluta inicial.
Es lo que podré llamar, para abreviar, la
ley de relatividad. [...] Las lecturas que podemos hacer en nuestros
instrumentos, en un instante cualquiera, dependerán solamente de las lecturas
que hubiéramos podido hacer en los mismos en el instante
inicial."
p.
94:
"¿Qué es un punto del espacio? Todo el mundo cree saberlo. pero es una
ilusión. "[Un] objeto, aunque esté alejado, puede formar su imagen en el mismo
punto de la retina. La vista responde sí, el objeto ha quedado en el mismo punto
y el tacto responde no, pues mi dedo, que en ese instante tocaba el objeto no lo
toca más ahora. [...] En resumen, por cada actitud de nuestro cuerpo mi primer
dedo determina un punto, y es esto y solamente esto lo que define un punto en el
espacio."
Tercera
parte.
Cap.
VI
p.
97/ 98:
"1º No hay espacio absoluto y no concebimos sino movimientos [que son
siempre] relativos; [...]. 2º No hay tiempo absoluto [...]. 3º No solamente no
tenemos la intuición directa de la igualdad de dos duraciones, sino que no
tenemos siquiera la de la simultaneidad de dos sucesos que se producen en
lugares diferentes; [...]. 4º Por último, la geometría euclideana no es ella
misma más que una especie de convención de lenguaje;
[...]."
p.
99:
[Del principio de inercia] "¿Es ésta una verdad que se impone a priori al espíritu? Si fuera así,
¿cómo la habrían desconocido los griegos? [...]." Poincaré nos dice que no es a
priori.
p.
109/ 110:
De nuestra ignorancia de lo que es la masa: "[...] estamos encerrados en
la siguiente definición que es una confesión de impotencia: las masas son coeficientes que es cómodo
introducir en los cálculos. [...] Por
definición, la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración; he
aquí el principio que en lo sucesivo está fuera del alcance de toda experiencia
ulterior. Es asimismo, por definición, que la acción es igual a la
reacción."
p.
111:
"[La] noción de esfuerzo no nos hace conocer la verdadera naturaleza de
la fuerza; se reduce en definitiva a un recuerdo de sensaciones musculares
[...]."
Cap.
VII
Cap.
VIII
p.
128:
"[...] El principio de conservación de la energía debe escribirse: T + U
+ Q = constante, donde T representaría la energía cinética sensible, U la
energía potencial de posición, dependiente solamente de la posición del cuerpo,
Q la energía interna molecular, bajo la forma térmica, química o eléctrica.
[...] Si (T + U + Q) es constante, lo mismo ocurre con una función
cualquiera j (T + U +
Q)."
p.
129:
"[...] el principio de acción mínima [—una molécula material, substraída
de toda fuerza, para ir de un punto a otro en una superficie, seguirá la línea
geodésica, es decir, el camino más corto—] es aplicable a los fenómenos
reversibles, pero no es nada satisfactorio en lo que concierne a los fenómenos
irreversibles; [...]."
Cuarta
parte.
Cap.
IX
p.
140:
"[...] El sabio debe ordenar; se hace la ciencia con hechos como una casa
con piedras, pero una acumulación de hechos no es una ciencia, lo mismo que un
montón de piedras no es una casa."
p.
143:
"[...] No tenemos, pues, que preguntarnos si la naturaleza es una, sino
cómo ella es una."
p.
147/ 148:
"Toda generalización es una hipótesis; [...]. Es preciso igualmente tener
cuidado entre las distintas clases de hipótesis. Hay, en primer lugar, aquellas
que son completamente naturales y de las cuales no se puede de ningún modo
prescindir. [...] Hay una segunda categoría de hipótesis que calificaré de
indiferentes. [...] Las hipótesis de tercera categoría son las verdaderas
generalizaciones [y son] ellas las que la experiencia debe confirmar o
invalidar. [...]"
Cap.
X
p.
161/ 162 y 231:
"[...] para Lord Kelvin, lo que llamamos materia no es sino el lugar de los
puntos en que el éter está animado de movimientos en torbellino; para Riemann es
el lugar de los puntos en que el éter es destruido constantemente; para otros
autores más modernos, Wiechert o Larmor, es el lugar de los puntos en que el
éter sufre una especie de torsión de naturaleza enteramente particular. [...]
Para Langevin, la materia sería éter licuado y que ha perdido sus propiedades;
cuando la materia se desplazara, no sería esta masa licuada que caminara a
través del éter, sino que la liquefacción se extendería progresivamente a nuevas
proporciones de éter, mientras que detrás, las partes primero licuadas
retomarían su estado primitivo. Al moverse, la materia no conservaría su
identidad."
p.
162:
"[...] Ahora bien, en la mecánica ordinaria el estado del sistema
estudiado no depende más que de su estado en un instante inmediatamente
anterior; el sistema satisface, pues, a ecuaciones diferenciales. Por el
contrario, si no creyéramos en el éter, el estado del universo material
dependería, no solamente del estado inmediatamente anterior, sino de estados
mucho más antiguos: el sistema satisfaría a ecuaciones a diferencias finitas.
Para evitar esta derogación de las leyes generales de la mecánica, hemos
inventado el éter."
Cap.
XI
p.
174:
"¿Ha sido definida la probabilidad? ¿Puede serlo? Y si no puede serlo,
¿cómo se osa razonar acerca de ella? [...]"
p.
174:
"[...] La definición se dirá, es bien simple: la probabilidad de un
suceso es la razón del número de casos favorables al número total de casos
posibles. [...] Se está, pues, constreñido a completar esta definición, diciendo
«...al número total de casos posibles, siempre que esos casos sean igualmente
probables». Henos, pues, aquí, reducidos a definir lo probable por lo
probable."
p.
177:
"[...] Lo que sé, no es que tal cosa sea cierta, sino que lo mejor para
mí es actuar como si lo fuera. «El cálculo de probabilidades, y por consiguiente
la ciencia, no tendría más que un valor práctico»."
p.
177:
Entiendo en Poincaré que denomina:
- probabilidad subjetiva: a la probabilidad
- probabilidad objetiva: a la frecuencia relativa
p.
178:
"[...] Si nosotros no fuéramos ignorantes, no habría probabilidad, no
habría lugar sino para la certeza; pero nuestra ignorancia no puede ser
absoluta, sin lo cual no habría tampoco probabilidad,
[...]."
p.
178:
"[...] El estado de un sistema en un instante dado depende de dos cosas:
su estado inicial y la ley según la cual varía ese estado.
[...]"
p.
193:
"La ley de los errores, admitida por todos los calculadores, es la ley de
Gauss, que está representada por una cierta curva trascendente conocida con el
nombre de «curva de campana». [...] Es evidente, desde luego, que los errores
sistemáticos no pueden satisfacer la ley de Gauss. [...]"
p.
195:
"[...] Para comprender cualquier cálculo de probabilidad, y aún para que
este cálculo tenga sentido, es necesario admitir, como punto de partida, una
hipótesis o una invención que implica siempre cierto grado de arbitrariedad.
[...]"
Cap.
XII
p.
197:
"Poco nos importa que el éter exista realmente; éste es asunto de los
metafísicos. Lo esencial para nosotros es que todo ocurre como si existiera, y
que esta hipótesis es cómoda para la explicación de los fenómenos.
[...]"
Cap.
XIII
Cap.
XIV
p.
227:
"[...] El atributo esencial de la materia es su masa, su inercia. La masa
es lo que en todas partes y siempre permanece constante,
[...]."
p.
229:
"[Los] electrones negativos no tienen masa propiamente dicha; si parecen
dotados de inercia es porque no podrían cambiar de velocidad sin modificar al
éter. Su inercia aparente no es más que un préstamo; no es de ellos, es del
éter. [...]"
p.
231:
El
electrón no sufre la contracción de Fitz-Gerald, es decir, la relación entre la
velocidad y la masa no se modifica.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
POINCARÉ,
Henri: Ciencia y método, trad. por M.
García Miranda y L. Alonso, Bs. As., Espasa-Calpe, 1944, Libros Primero y
Segundo, fragmentos.
Compendia:
Eugenio Tait
ÍNDICE
Introducción.
Libro
Primero. Cap. I
Libro
Primero. Cap. II
Libro
Primero. Cap. III
Libro
Primero. Cap. IV
Libro
Segundo. Cap. I
Libro
Segundo. Cap. II
Libro
Segundo. Cap. III
Libro
Segundo. Cap. IV
Libro
Segundo. Cap. V
Introducción.
p.
11:
"[...] ¿qué es el azar? Este concepto es difícil de justificar y más aún
de definir; [...]"
Libro
Primero. Cap. I
p.
16:
"[...] Querer encerrar la naturaleza en la Ciencia sería como querer
meter el todo en la parte."
Libro
Primero. Cap. II
p.
26/ 29:
"El célebre filósofo vienés Mach, dijo que el papel de la ciencia es
producir economía de pensamiento de la misma manera que la máquina produce
economía de esfuerzo. [Así, un] resultado nuevo tiene valor cuando reúne
elementos conocidos, hace mucho tiempo, pero dispersos hasta el punto de parecer
extraños los unos a los otros, e introduce de repente el orden donde reinaba el
desorden. [...] Para obtener un resultado que tenga valor real, no es suficiente
crear [...] solamente el orden, sino el orden inesperado
[...]."
Libro
Primero. Cap. III
p.
42/ 43:
"[...] Una demostración matemática no es una simple yuxtaposición de silogismos; son silogismos colocados en cierto
orden, [...]"
p.45/
48:
"[Hablando de lo que pasa en el ´alma del matemático´ para inventar, nos cuenta que una vez que] en
el momento en que ponía el pie en el estribo la idea le vino sin que nada en mis
pensamientos anteriores me hubiera podido preparar para ella, [...]. Un día
paseándome sobre el tajamar, la idea me vino, siempre con los mismos caracteres
de brevedad, instantaneidad y certeza inmediata, [...]. [Otra vez] la solución
de la dificultad que me había detenido se me apareció de repente. [...] Jamás (y
los ejemplos que ya he citado lo prueban bastante) estas inspiraciones
repentinas no se producen sino al cabo de varios días de esfuerzos voluntarios,
que han parecidos absolutamente infructuosos y donde se ha creído no hacer nada
bueno, en los que da la impresión de haber hecho una ruta totalmente falsa.
Estos esfuerzos no han sido tan estériles como se piensa, han puesto en marcha
la máquina inconsciente; sin ellos no habría marchado y ni por lo tanto
producido nada."
p.
48:
"La necesidad del segundo período de trabajo consciente después de la
inspiración se comprende mejor aún. [...] Hablo del sentimiento de certeza
absoluta que acompaña a la inspiración; [...] no hay que creer que esto sea una
regla sin excepción; con frecuencia este sentimiento nos engaña sin que por ello
sea menos vivo, [...]. Observé sobre todo este hecho, por las ideas que me han
venido por la mañana o por la noche en mi lecho, en un estado
semihipnagógico."
p.
49/ 50 y 53:
"[...] ¿Cuál es la causa que hace que entre los mil productos de nuestra
actividad inconsciente haya algunos que puedan franquear su atrio, mientras que
otros permanecen dentro? ¿Es un simple azar el que les confiere este privilegio?
Evidentemente, no; entre todas las excitaciones de nuestros sentidos, por
ejemplo, sólo las más intensas logran retener nuestra atención, a menos que esta
atención no haya sido atraída hacia ellas por otras causas. [...] En el yo
subconsciente reina por el contrario lo que yo llamaría la libertad, si se puede
dar a este nombre a la simple ausencia de disciplina y al desorden nacido del
azar. [...]"
Libro
Primero. Cap. IV
p.
55:
"[...] La probabilidad es lo contrario de la certeza,
[...]"
p.
56 y 58:
"[...] El azar no es más que la medida de nuestra ignorancia. [...] Si
conociésemos las leyes de la
Naturaleza y la situación del Universo en el instante inicial, podríamos
predecir con exactitud la situación de este Universo en un instante ulterior.
[...] nuestra debilidad no nos permite abarcar el Universo entero y nos obliga a
dividirlo; [...]"
p.
60:
"[...] Sabemos que en virtud del principio de Carnot los fenómenos
físicos son irreversibles y que el mundo tiende hacia la uniformidad.
[...]"
p.
65:
"Todo esto que acabamos de decir no nos explica aún por qué el azar acata
ciertas leyes. ¿Basta solamente que las causas sean pequeñas, o que sean
complejas, para que podamos prever si no cuales son los efectos en cada caso, por lo menos lo que serán
estos efectos en un término medio? [...]"
p.
71:
"¿Qué significa la palabra muy pequeño? Basta para comprenderlo remitirse
a lo que hemos dicho antes. Una diferencia es muy pequeña, un intervalo es muy
pequeño, cuando en los límites de este intervalo la posibilidad permanece
sensiblemente constante. Y ¿porqué esta posibilidad puede ser contemplada como
constante en un pequeño intervalo? Es porque admitimos que la ley de
posibilidades puede ser representada por una curva continua, y no solamente
continua en el sentido analítico de la palabra, sino que prácticamente continua,
[...]"
p.72:
"[...] desde el comienzo de los siglos hay causas complejas que no cesan
de obrar en el mismo sentido y que aspiran constantemente a llevar al mundo
hacia la uniformidad, sin que jamás pueda volverse atrás. Son éstas las causas
que, poco a poco, han vencido los salientes y rellenado los entrantes, y es por
esto que nuestras curvas de posibilidad no ofrecen más que ondulaciones lentas.
[...]"
p.
73:
"[...] Pero si un gran acontecimiento del siglo XVII reconoce por causa
un pequeño hecho del siglo XVI, al que ningún historiador se refiere, que todo
el mundo ha negado, entonces se dice que este acontecimiento se debe al azar,
esta palabra adquiere entonces el mismo sentido que en las Ciencias Físicas;
significa que de pequeñas causas se han producido grandes
efectos."
Libro
Segundo. Cap. I
p.
77:
"Es imposible representarse el espacio vacío;
[...]."
p.
77/ 78 y 82:
"Cualquiera que hable del espacio absoluto, emplea una palabra carente de
sentido. [...] Digo: volveré aquí mañana. Si se me pregunta: ¿Entiende usted que
volverá al mismo punto del espacio?, tendré ganas de contestar: Si. Sin embargo,
estaré equivocado, porque de aquí a mañana la Tierra se habrá trasladado. [...]
Es esta una de las formas, la más banal, del principio de relatividad del
espacio; pero hay otra, sobre la cual Delbeuf ha insistido particularmente.
Supongamos que, todas las dimensiones del Universo se vuelven más grandes: el
mundo permanecerá semejante a él mismo, [...]. Lo mismo en una noche el universo
B podría ser substituido por el universo A, sin que tuviésemos medio alguno para
saberlo, entonces las rectas de ayer habrían cesado de ser rectas, sin que
hubiéramos notado nada."
p.
83:
"Si esta intuición de la distancia, de la dirección, de la línea recta,
si esta intuición directa del espacio, en una palabra, no existe, ¿por qué
creemos tenerla? Si no es más que una ilusión, ¿de dónde proviene que esta
ilusión sea tan tenaz? Esto es lo que conviene examinar."
p.
83:
"[...]
No hubiéramos podido construir el espacio, si no hubiéramos tenido un
instrumento para medirlo; pues bien: este instrumento, al cual relacionamos
todo, del que nos servimos instintivamente, es nuestro propio cuerpo.
[...]"
p.
85/ 86:
"[...] Lo que llamamos nuestra intuición de la línea recta, o de la
distancia, es la consecuencia que tenemos de estas asociaciones y de su carácter
imperioso. ¿De dónde proviene este carácter imperioso?, es fácil comprenderlo.
Una asociación nos parecerá tanto más indestructible cuanto más antigua sea.
Pero estas asociaciones no son, para la mayor parte, conquistas del individuo,
puesto que se ve la huella en el niño recién nacido; estas son las conquistas de
la raza. La selección natural ha debido traer estas conquistas tanto más veloces
cuanto más necesarias hayan sido. A este respecto, estas a que nos referimos han
debido ser las primeras, puesto que sin ellas la defensa del organismo habría
sido imposible. [...] Cuando se decapita una rana y se deja caer una gota de
ácido en un lugar de la piel, trata de limpiarse el ácido con la pata más
cercana y si esta pata le es amputada, se lo quita con la del lado opuesto. He
aquí la [defensa] de que hablé antes, [...]. Se ve a qué profundidad de la
subconsciencia es necesario descender para encontrar las primeras huellas de
estas asociaciones espaciales, puesto que sólo las partes más inferiores del
sistema nervioso entran en juego. ¿Cómo sorprendernos, por lo tanto, de la
resistencia que nos oponen a toda tentativa hecha de disociar lo que después de
tanto tiempo está asociado? [...]"
p.
87/ 89:
Poincaré distingue dos tipos de espacio:
- el restringido: "[...]
relacionado con los ejes de las coordenadas unidas a mi cuerpo;
[...]."
- el extendido: siendo el
exterior al cuerpo, "[...] se nos aparece como homogéneo
[—relativo a los movimientos corporales—]
y decimos que todos los puntos en él son
equivalentes.
[...]"
p.
93:
"De esta manera característica del espacio, la de tener tres dimensiones
no es nada más que una propiedad de nuestro cuadro de distribución, una
propiedad interna, por así decir, de la inteligencia humana.
[...]"
p.
93:
"[...] Si el número de las dimensiones proviene de nuestra conformación,
podría haber otros seres conscientes [—o no—] que vivieran en nuestro mundo,
pero que estuvieran hechos de distinta manera que nosotros y creyeran que el
espacio tiene más o menos de tres dimensiones. [...]"
p.
94:
"[...]
Nuestro cuadro de distribución no es entonces más que la traducción de un
conjunto de hechos exteriores; si tiene tres dimensiones es porque se ha
adaptado a un mundo que tenía ciertas propiedades. [...] Si entonces la lengua
de tres dimensiones es la que nos permite más fácilmente describir nuestro
mundo, no debemos sorprendernos, esta lengua está calcada sobre nuestro cuadro
de distribución; y es a fin de poder vivir en este mundo que este cuadro ha sido
establecido."
p.
95:
"En esta educación progresiva que ha conducido a la construcción del
espacio, ¿cuál es la parte del individuo y cuál es la parte de la raza? Difícil
determinarlo. [...]"
p.
96:
"[...] Citemos, no obstante, un hecho que demuestra que el espacio que
nos legaron nuestros antecesores aún conserva una cierta plasticidad. Ciertos
cazadores aprenden a tirar a los peces bajo el agua, a pesar que la imagen de
estos peces les sea trastornada por la refracción. [...]"
Libro
Segundo. Cap. II
p.107:
"[...] No se puede demostrar todo y no se puede definir todo, será
siempre necesario pedir prestado a la intuición; [...]."
p.
109:
"No se puede definir el número entero; en cambio se define comúnmente las
operaciones sobre los números enteros. [...]"
p.
111:
"[...] ¿Podemos definir la línea recta? La definición conocida, el camino
más corto de un punto a otro, apenas si me satisface.
[...]"
Libro
Segundo. Cap. III
p.
117:
"desde hace mucho tiempo la noción de infinito había sido introducida en
Matemáticas; pero este infinito era lo que los filósofos denominaban un devenir.
El infinito matemático no era más que una cantidad susceptible de crecer más
allá de todos los límites, era una cantidad variable de quien no se podía decir
que HUBIERA DEJADO ATRÁS todos los límites, sino solamente que los dejaría.
Cantor ha emprendido la tarea de introducir en Matemáticas el INFINITO ACTUAL,
es decir, una cantidad que no solamente sea susceptible de dejar atrás todos los
límites, sino que sea mirada como si los hubiera pasado. Se han planteado
cuestiones tales como éstas: ¿Hay más puntos en el espacio que en números
enteros? ¿Hay más puntos en el espacio que puntos en un plano?, etc. Y entonces
el número de los números enteros, el de los puntos en el espacio, etc.,
constituye lo que él llama UN NÚMERO CARDINAL TRANSFINITO, es decir, un número
cardinal más grande que todos los números cardinales ordinarios.
[...]"
p.
119:
"Para el señor Couturat, los trabajos nuevos y en particular los de los
señores Russell y Péano, han cortado definitivamente el debate, desde largo
tiempo pendiente entre Leibnitz y Kant. Han mostrado que no hay juicio sintético
a priori (como dijo Kant para designar los juicios que no podían ser demostrados
ni analíticamente, ni reducidos a identidades, ni establecidos
experimentalmente), han demostrado que las Matemáticas son reductibles a la
lógica y que la intuición no desempeña ningún papel.
[...]"
p.124
(ídem 108):
"[...] Stuart Mill decía que toda definición implica un axioma, por el
cual se afirma la existencia del objeto definido. [...]"
p.
124 (ídem 141):
"[...] en Matemática la palabra existir no puede tener más que un
sentido, significa exento de contradicción."
p.
126:
"Las definiciones del número son muy diversas y numerosas; renuncio
incluso a enumerar el nombre de sus autores. No nos debe sorprender que haya
tantos. Si una de ellas fuera satisfactoria, no se enunciaría ninguna
nueva."
Libro
Segundo. Cap. IV
p.
131/ 132:
"[...] Se han visto nacer lógicas nuevas; la más interesante de todas es,
sin duda, la del señor Russell. [En ella] se combinan las conjunciones si, y, donde, y la negación no. Esto es una extensión de la vieja
lógica. [...] Los signos, y, donde, siguen las mismas leyes que los
dos signos x y +, es decir las leyes asociativas, conmutativas y distributivas.
Así y representa la multiplicación
lógica, mientras que donde representa
la adición lógica. [...]"
p.
141/ 142:
"[...] Un número entero finito es
el que puede ser obtenido por adiciones sucesivas y es el que es tal que n
no es igual a
n-1."
Libro
Segundo. Cap. V
p.
146:
"No veo, por el contrario, en la Logística, más que trabas para el
inventor; [...]. La logística nos obliga a decir todo lo que sobreentendemos,
nos obliga a avanzar paso a paso; es, sin duda, más seguro, pero no es más
rápido."
p.
151/ 152 y 157/ 158:
"[...] Cantor creyó poder constituir una Ciencia del Infinito; otros se
le adelantaron en el camino que había abierto, pero chocaron pronto con extrañas
contradicciones, Estos antinomios son ya numerosos, pero los más célebres son:
1º El antinomio Burali-Forti; 2º El antinomio Zermelo-König; 3º El antinomio
Richard. Cantor demostró que los números ordinales [transfinitos] pueden ser
ordenados en una serie lineal, es decir, que de dos números ordinales
[transfinitos] desiguales, hay siempre uno que es más pequeño que otro.
[...]"
1º El antinomio Burali-Forti: "[...] si se pueden colocar todos los
números ordinales en una serie lineal, esta serie definirá un número ordinal que
será más grande que todos los otros, se podrá a continuación añadir 1 y se
obtendrá todavía un número ordinal que será aún más grande, y esto es
contradictorio."
2º El antinomio Zermelo-König: [no lo entendí]
3º El antinomio Richard (1905): "[...] Consideremos todos los números
decimales que se puedan definir con la ayuda de un número finito de palabras;
estos números decimales forman un conjunto E y es fácil ver que este conjunto es
numerable, es decir, que se pueden numerar los diversos números decimales de
este conjunto desde el 1 hasta el infinito. Supongamos la numeración efectuada y
definamos un número N de la manera siguiente. Si la n decimal de n número del
conjunto E es: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 la n decimal de N será: 1,2,3,4,5,6,7,8,1,1.
Como se ve, N no es igual al N número de E, y como n es cualquiera, N no
pertenece a E y por lo tanto N deberá pertenecer a este conjunto, puesto que lo
hemos definido con un número finito de palabras."
POINCARÉ,
Henri: La Ciencia y la Hipótesis,
trad. por Alfredo B. Besio y Josér Banfi, Bs. As., Espasa-Calpe, 1943,
fragmentos.
Compendia:
Eugenio Tait