BERTRAND RUSSELL
NUESTRO CONOCIMIENTO DEL MUNDO EXTERNO (fragmentos)
ò
RUSSELL, Bertrand: Nuestro
conocimiento del mundo externo (1914), trad. por Ricardo J.
Velzi, Bs. As., Losada, 1946, fragmentos.
ò
RUSSELL, Bertrand: Análisis de la materia (1927), trad. por
Eulogio Mellado, 2a ed., Madrid, Taurus, 1976,
fragmentos.
ò RUSSELL,
Bertrand: Introducción a la filosofía matemática,
trad. por Florencio D. Jaime y luego por Juan B. Molinari, Bs. As., Losada,
1945, fragmentos.
ÍNDICE
Prefacio
Cap.
I
Cap.
II
Cap.
III
Cap.
IV
Cap.
V
Cap.
VI
Cap.
VII
Cap.
VIII
Prefacio
p. 20/
21:
"[...] una teoría satisfactoria acerca del infinito matemático [...] fue
salvada por la obra de Georg Cantor. Pero la solución positiva y detallada [...]
sólo se ha vuelto posible por el desarrollo de la lógica matemática,
[...]."
Cap.
I
p.
23:
"La filosofía,
desde sus primeros tiempos, ha sustentado mayores pretensiones y ha alcanzado
menores resultados que cualquier otra rama del conocimiento.
[...]"
p.
40:
"[...] El instinto, la intuición, o la visión interior es lo que
primeramente conduce a las creencias que luego la razón confirma o refuta;
[...]La razón es, más bien que fuerza creadora, fuerza que armoniza y prueba.
Aun en los dominios más puramente lógicos es la visión interior lo que primero
llega a lo nuevo."
p.
44:
"El entendimiento teórico del mundo, que es el objeto de la filosofía, no
es asunto de gran importancia práctica ni para los animales, ni para los
salvajes, y ni aún para la gran mayoría de los hombres civilizados.
[...]"
Cap.
II
p.
53:
"Hegel y sus discípulos ensancharon el alcance de la lógica en forma
completamente distinta, forma que yo tengo por falaz,
[...]."
p.
60:
"[Ha sido un error en la filosofía la] creencia o convicción inconsciente
de que todas las proposiciones tienen la forma de sujeto y predicado
[...]."
p.
71:
"[...] Debemos por lo tanto
admitir que hay un conocimiento general
no derivado de los sentidos, y que parte de ese conocimiento no se obtiene por
inferencia sino que es primitivo. Tal conocimiento general ha de encontrarse
en la lógica. Ignoro si existe algún conocimiento semejante no derivado de la
lógica; [...]."
p.
72:
"La lógica, podríamos decir, consta de dos partes. La primera investiga
lo que son las proposiciones [...] La segunda parte se ocupa de ciertas
proposiciones sumamente generales que aseguran la verdad de todas las
proposiciones de determinadas formas. Esta segunda parte se funde con la
matemática pura, [...]"
Cap.
III
p. 76 y
83:
"En todo problema filosófico, nuestra investigación parte de lo que
podríamos llamar datos, con lo cual
quiero decir materia del conocimiento común, [...]. De esta manera nos vemos
conducidos hacia una distinción un tanto vaga entre lo que podríamos llamar
datos «duros» (hard) y datos
«blandos» (soft). [...] Llamo datos
«duros» (hard) a los que resisten la
influencia disolvente de la reflexión crítica, y «blandos» (soft) a los datos que bajo la acción de
este proceso, se vuelven más o menos dudosos a nuestra mente. Los datos más
duros entre los duros, son de dos clases: los hechos particulares de los
sentidos y las verdades de la lógica. [...] Debemos, además, recordar que la
distinción entre datos duros y blandos es psicológica y subjetiva, de manera que
si hay otras mentes distintas de las nuestras —lo cual, por el momento, debe ser
mantenido en duda— el catálogo de los datos duros puede ser para ellas distinto
de lo que es para nosotros."
p.
83:
"[...] El problema es en realidad éste: ¿puede la existencia de cualquier
cosa que no sea uno de nuestros datos duros ser inferida de la existencia de
esos mismos datos? [...]"
p. 84/
85:
"Cuando decimos que una cosa es «independiente» de otra, queremos decir,
o bien que a una le es posible existir lógicamente sin la otra, o bien que no
hay relación causal entre ambas, como sería el caso si una ocurriera como efecto
de la otra. La única manera, hasta donde yo entiendo, en que una cosa puede ser
lógicamente dependiente de otra es
aquella en que esta otra es parte de
la primera. [...] En este sentido, la pregunta: [...] «¿podemos conocer la
existencia de cualquier realidad de la cual no es parte nuestro yo?» formulaba
de esta manera, [...] creo que, cualquiera sea la forma en que el «yo» pueda ser
definido, [...] nunca se lo puede suponer como parte del objeto inmediato de los
sentidos [...]. La cuestión de la dependencia causal es mucho más difícil.
[...]"
p.
88:
"[...] Lo que realmente se conoce es una correlación de sensaciones
musculares y de otras corporales con cambio en las sensaciones
visuales."
p.
95:
"[...] Los objetos de los sentidos, aun cuando se presentan en sueños,
son, fuera de toda duda, objetos reales que nos son conocidos. ¿Qué nos hace
entonces llamarlos objetos irreales de los sueños? Únicamente la naturaleza
inusitada de su conexión con otros objetos de los sentidos. [...] Y
contrariamente, no debe esperarse que los objetos de la vigilia tengan mayor
realidad intrínseca que la de los sueños. [...]"
p. 95/
97:
"[...] A medida que caminamos alrededor de la mesa su aspecto cambia.
[...] Cuando [todo ha] cambiado por un movimiento corporal, ningún lugar
permanece tal como era. [...] El mundo tridimensional visto por una mente no
contiene por lo tanto ningún lugar en común con el mundo visto por otra, pues
los lugares sólo pueden estar constituidos por las cosas que están dentro o
alrededor de ellos. [...] Aún más, podemos suponer que hay un número infinito de
mundos que en realidad no son percibidos. [...]"
p.
98:
"[...] De manera, pues, que es posible, a veces, establecer una
correlación de similitud entre un gran número de cosas de una perspectiva y un
gran número de cosas de otra. [...] De esta manera, el espacio que consiste en
relaciones entre perspectivas puede ser transformado en continuo, y (si lo
preferimos) en tridimensional."
p. 98 y
101:
"[...] Todos los aspectos de una cosa son reales, mientras que la cosa es
una construcción puramente lógica. Ésta tiene, con todo, el mérito de ser
neutral entre los diferentes puntos de vista, y de ser visible para más de una
persona, en el único sentido que puede ser visible, es decir, en el sentido de
que cada cual ve uno de sus aspectos. [...] Cada aspecto de una cosa es miembro
de dos clases diferentes de aspectos, a saber: 1) los diversos aspectos de la
cosa, de los cuales a lo sumo uno aparece en cualquier perspectiva dada; 2) la
perspectiva de la cual el aspecto dado es miembro, es decir, aquella en que la
cosa tiene el aspecto dado. El físico clasifica naturalmente a los aspectos en
la primera forma, el psicólogo en la segunda. [...]"
p.
101:
"Podemos definir [el] aquí como el lugar, en el «espacio de
perspectivas», [lo] ocupado por nuestro mundo particular. [Así, pues,] nuestro
mundo particular es un lugar en el «espacio de perspectivas» y puede ser parte
del lugar en donde se halla nuestra cabeza. Se observará que hay dos lugares en
el «espacio de perspectivas» asociados a cada aspecto de una cosa, a saber: el
lugar en que está la cosa, y el lugar que constituye la perspectiva de la cual
el aspecto en cuestión forma parte."
p.
102:
"[...] Tratemos ahora de precisar el hecho de que el medio interpuesto modifica el
aspecto que presenta una cosa en un lugar determinado.
[...]"
p.
104.
"[Dada una escena onírica,] con nuestra intervención, puede ocurrir en un
sueño, caso en el cual se considera que la inferencia es equivocada. ¿Hay algo
que pueda hacer más convincente el argumento por analogía cuando estamos (como
creemos) despiertos? [...] La hipótesis natural sería la de creer que los
demonios y los espíritus de los muertos nos visitan mientras dormimos; pero las
mentes modernas rechazan, por regla general, esta opinión, aunque es muy difícil
ver lo que se podría decir en contra. [...]"
Cap.
IV
p.
109:
"[...] la teoría de los quanta. Aquí, la unidad indivisible es una unidad
de «acción», es decir energía multiplicada por tiempo, o masa multiplicada por
distancia y por velocidad. [...]"
p.
113:
"[...] El problema es el siguiente: ¿En razón de qué principios hemos de
seleccionar ciertos datos del caos, y llamarlos a todos apariencias de una misma
cosa? [...]"
p.
116:
"Cosas son aquellos conjuntos
ordenados de aspectos que obedecen a las leyes de la
física."
p.
116:
"[...] Los datos de los sentidos, puede decirse, pertenecen a la
psicología y son, en cierto modo por lo menos, subjetivos, mientras que la
física es completamente independiente de consideraciones psicológicas, y no
supone que su materia exista solamente cuando se la
percibe."
p. 118/
119:
"[...] los diferentes sentidos tienen espacios distintos. [...] Es sólo
por experiencia en la niñez cómo aprendemos a correlacionarlos. [...] El espacio
único en que ambas clases de sensaciones encajan es una construcción
intelectual, no un dato. [...] El espacio único, compuesto por los distintos
espacios, puede tornarse válido como construcción lógica, pero no hay ninguna
razón atendible para suponer su realidad metafísica
independiente."
p. 119/
120:
"[...] El
espacio de la geometría y de la física se compone de un número infinito de
puntos, pero nadie ha visto o tocado ningunos de esos puntos. Si hay puntos en
un espacio sensible, deben ser una inferencia. [...] Antes que nada debemos
observar que no hay datos infinitesimales en los sentidos: cualquier superficie
que podamos ver, por ejemplo, deberá ser de cierta extensión finita. Suponemos
que esto se aplica no sólo a los datos de los sentidos, sino también a toda la
materia de que se compone el mundo: todo lo que no sea una abstracción tiene un
tamaño espacio-temporal finito, aunque no podamos descubrir el límite inferior
[—ni mayor—] de los tamaños posibles. [...]"
Cap.
V
p.
140:
"[La] infinita divisibilidad [de un objeto] parecería significar, a
primera vista, que hay distancias infinitesimales; [...] Esto es, sin embargo,
un error. [...] «Pero», se dirá, «al
fin la distancia se volverá infinitesimal». No, puesto que no hay fin. [...]
El lenguaje común no se adapta bien a la expresión de asuntos de esta
naturaleza, [...]."
Cap.
VI
p.
157:
"[...] George
Cantor demostró que las supuestas contradicciones son ilusorias, ya no hay razón
alguna para buscar una explicación finita del mundo. Todas las dificultades
atribuidas a la continuidad tienen su origen en el hecho de que un ordenamiento
continuo deberá tener un número infinito de elementos: ellas son, por
consiguiente, dificultades referentes al infinito. [...]"
p.
180:
"[...] Etimológicamente, «infinito» debería significar «que no tiene
fin». Pero en verdad algunos ordenamientos infinitos tienen fin, y algunos no lo
tienen, mientras que algunos conjuntos son infinitos sin ser ordenamientos, y
por lo tanto no puede decirse ni que tengan ni que no tengan fin.
[...]"
Cap.
VII
p.
184:
"Entre la filosofía y la matemática pura hay cierta afinidad abonada por
la circunstancia de que ambas son generales y a priori. [...] La diferencia entre la
filosofía y la matemática puede ilustrarse por medio de nuestro presente
problema, es decir, la naturaleza del
número. [...]"
p.
187:
"[...] En realidad, la operación de contar sólo puede realizarla
inteligentemente la persona que ya tenga alguna idea de lo que son los números:
y de aquí se desprende que contar no puede ser la base lógica del
número."
p. 188, 195 y
197:
"Hay dos aspectos en los números infinitos que se conocen difieren de los
números finitos: [...] reflexibilidad
[ y no-inductividad.] Se dice que un
número es reflexivo cuando no puede
ser aumentado añadiéndole uno. [Una]
propiedad inductiva de los números es aquella que es hereditaria y pertenece a
cero. [...] Se sabe que todos los números reflexivos son no-inductivos, pero no
se sabe que todos los números no-inductivos sean reflexivos; [...] Ello, no
obstante, los números infinitos actualmente conocidos son, todos, tanto
reflexivos como no-inductivos; [...]"
p. 197/
199:
Descubrimientos:
- la teoría de los números infinitos, por George Cantor, en
1882-3.
-
la definición de número, por Gottlob Frege, 1879. El número no es ni espacial,
ni físico, ni subjetivo, sino no-sensible y objetivo (objetivo en el sentido de
cosa no real, concreta).
p.
200:
"Los números son propiedades de
los términos generales o de las descripciones generales, y no de las cosas
físicas o de los sucesos mentales."
Cap.
VIII
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RUSSELL,
Bertrand: Análisis de la materia
(1927), trad. por Eulogio Mellado, 2a ed., Madrid, Taurus, 1976,
fragmentos.
Compendia:
Eugenio Tait
ÍNDICE
Prefacio
Parte
Primera.
Parte
Segunda.
Parte
Tercera.
Prefacio
Parte
Primera.
p.
24:
"[...] Las antinomias de Kant y las supuestas dificultades del infinito y
de la continuidad fueron, finalmente, resueltas por Cantor.
[...]"
p.
25:
"[...] Leibnitz suponía que existían infinitesimales, aunque todo lo que
somos capaces de observar excede de un cierto tamaño mínimo.
[...]"
p.
35:
"La física
contemporánea puede ser dividida en dos partes: una, que se ocupa de la
propagación de la energía en la materia o en regiones donde no hay materia, y la
otra que estudia los intercambios de energía entre esas regiones y la materia.
La primera parte se ha encontrado que exige continuidad, la segunda
discontinuidad. [...]"
p.
55:
"[...] ¿Tenemos alguna buena razón para creer que el espcacio-tiempo es
continuo? [...]"
p. 57/ 58 y
400:
Ecuación de Heisenberg:
pq — qp = ( h / 2 p ) . 1
donde
p: momento generalizado o "impulso" (matriz)
q: coordenada hamiltoniana (matriz)
h: constante de Planck
1: matriz diagonal unidad
p.
69:
"[...] El crecimiento de la masa, con un movimiento rápido, se conocía
experimentalmente antes de que fuera explicado por la teoría especial de la
relatividad. [...]"
p.
69:
"[...] Supongamos tres cuerpos moviéndose uniformemente en la misma
dirección. La velocidad del segundo relativamente al primero es v, la del
tercero al segundo w. ¿Cuál es la velocidad del tercero respecto al primero?
Debería creerse que v + w; pero, en realidad es:
(
v + w ) / ( 1 + v w / c2
)
[...] Esto
indica la forma en que la velocidad de la luz desempeña el papel de infinito
[—límite—] en relación con los movimientos materiales."
p.
87:
"[...] dy/ dx es el límite de una fracción; [...]"
p. 125/
126:
"[...] Largo tiempo hace que es ya un lugar común de la física que sus
leyes causales deben tener este carácter diferencial: deben indicarnos ante todo
la tendencia en cada momento, [...]."
p.
126:
"Este aspecto de las leyes causales está ausente de la teoría de los quanta, de las ideas de los salvajes y
personas ineducadas y de los trabajos de los filósofos,
[...]."
p.
130:
"[...] Así, cuando decimos que las leyes tienen que expresarse en
ecuaciones diferenciales, queremos afirmar que las relaciones finitas, que
tengan lugar, no pueden formularse en forma de leyes exactas, sino solamente sus
límites, disminuyendo las distancias. No decimos con ello que estos límites sean
las verdaderas realidades físicas; por el contrario éstas continúan siendo las
relaciones finitas. [...]"
p.
142:
"[...] Dondequiera que observamos una serie cualitativa, tal como la de
los colores de un arco iris, suponemos que debe haber causalidad e insistimos en
que los números utilizados como medidas deben tener el mismo orden que las
cualidades que miden. Lo primero es un postulado, lo segundo una convención.
Ambos han demostrado su utilidad, pero ninguno de ellos es una necesidad a priori. Hay órdenes que,
evidentemente, carecen de importancia causal, [...]."
p.
147:
"[...] si el espacio tiempo es continuo, parece que la medición
espacio-temporal depende teoréticamente de la semejanza cualitativa,
[...]."
p. 151/
152:
"[...] Si llamamos m a la masa invariante [—con respecto a coordenadas y
no del tiempo—] y M a la masa relativa, tomando la velocidad de la luz como
unidad y llamando v a la velocidad del cuerpo relativamente al observador,
tendremos:
M = m / ( 1 — v2 ) 1/2
De aquí se
deduce que M crece a medida que v aumenta; si v es la velocidad de la luz, M se
hace infinita, siendo m finita. En realidad, la masa invariante de la luz es
cero y su masa relativa finita. Dondequiera que la energía se encuentre asociada
con la materia, existe una masa invariante finita m; pero allí donde la energía
se encuentre en un «espacio vacío» m es cero. Esto puede considerarse como una
definición de la diferencia entre materia y espacio vacío. [...] La conservación
de la energía es la conservación de M, no de m; [...]."
p. 154/
155:
" [...] dice el doctor Ellis [que es] «completamente imposible observar
la luz en el curso de su propagación; los únicos hechos que pueden estudiarse
son la emisión y la absorción de la misma. [...]»"
Parte
Segunda.
p. 171/
172:
"[...] Debe esperarse que la evidencia no será tal que nos dé la
certidumbre, sino que a lo más nos dará una probabilidad; [...]. Esto demuestra
que no existe un límite bien marcado entre la ciencia y el sentido común: los
dos implican esperanzas de hechos, que han de ocurrir; pero las que se derivan
de la ciencia son más seguras. [...]"
p. 174/
175:
Whitehead
acepta la existencia de un espacio-tiempo para lo táctil, y otro para el visual,
y que sería necesario admitir una armonía preestablecida en la actitud de
correlaciones perceptuales físicas.
p. 177/
178:
"[...] En el
lenguaje de la teoría causal de la percepción decimos que vista y tacto tienen
una causa común, externa por lo general al cuerpo. No es mi propósito negar
esto, sino solamente puntualizar que, si consideramos la base de nuestro
conocimiento, no podemos afirmar que conozcamos la correlación, porque no es
conocida la causa común externa. [...] Lo que aprendemos en la experiencia
infantil no es que la vista y el tacto sean siempre correlativos; es posible tocar
en la oscuridad o con los ojos tapados, y es posible también ver sin tocar.
[...]"
p.
190:
"[...] el sistema de Leibnitz, [...] creo que contiene atisbos de una
metafísica compatible con la física moderna y con la psicología, aunque
necesita, desde luego, importantes modificaciones."
p. 192/
194:
"[...] Podríamos distinguir tres clases de física, según las experiencias
sensibles de que se derivan sus teorías; las llamaré física muscular, física
táctil y física visual [...]. La física muscular está condensada en la idea de
«fuerza». [...] La física táctil [en la] conservación de la cantidad de
movimiento [...] La física visual [a la] astronomía
[...]."
p. 215/
216:
"[...] se deseamos construir una ciencia exacta debemos desconfiar de las
asociaciones que la experiencia nos lleva a formar,
[...]."
p.
234:
"[...] Respecto al carácter fragmentario del mundo que percibimos,
aquellos que lo niegan se ven obligados a introducir percepciones minúsculas,
como Leibnitz, o percepciones inconscientes o percepciones vagas o algo por el
estilo. [...]"
p.
249:
"La metafísica que venimos desarrollando es, esencialmente, la de
Berkeley: todo lo que es, es percibido. Pero nuestras razones son algo
diferentes a las suyas. No sugerimos que haya imposibilidad alguna de existencia
para las entidades no percibidas, sino solamente que no existe base segura para
creer en ellas. Berkeley creía que lo que podía aducirse contra ellas era
definitivo; [...]."
p.
274:
"[...] Podríamos suponer, como ha sugerido una vez Poincaré y como parece
que creía Pitágoras, que el espacio y el tiempo son granulares, no continuos,
esto es: que la distancia entre dos electrones puede ser siempre un múltiplo
entero de alguna unidad, y lo mismo el tiempo transcurrido entre dos
acontecimientos de la historia de un electrón. [...]"
p.
281:
"El lenguaje escrito depende de la teoría causal de la percepción y de la
existencia de objetos físicos; El lenguaje hablado implica la primera, pero no
la segunda. [...]"
p. 285 y
419:
"[...]
Llegamos, pues, a la conclusión de que, dado un acontecimiento x en un tiempo t,
existirán en los tiempos contiguos acontecimientos muy análogos al primero. Esto
lo podemos simbolizar diciendo que si existe un acontecimiento x en un tiempo t,
existirá en cualquier otro tiempo contiguo t + dt, otro
acontecimiento:
x
+ f1(x) dt + f2(x) dt2
siendo
f1(x) una función continua en el tiempo, en tanto que
f2(x) viene determinada por las ecuaciones diferenciales del segundo
orden de la física. El conjunto de acontecimientos de esta manera relacionados
es lo que se llama una porción de materia. En el caso de los cambios súbitos,
que admite la teoría de los quanta,
existe, a pesar de ello, continuidad en todo, excepto en la posición espacial y
esta última sufre un cambio que se encuentra necesariamente entre un pequeño
número de cambios posibles. [...] No sabemos si los cambios de quanta son efectivamente súbitos o no;
no sabemos si el espacio encerrado en la estructura atómica es continuo o
discreto. [...]"
p.
289:
"Ante todo es preciso aclarar qué es lo que entendemos por estructura.
Esta noción no es aplicable a las clases, sino sólo a las relaciones o sistema
de relaciones. [...]"
p. 294/
295:
"[...] no existe dificultad para adaptar la afirmación de que los tiempos
psicológico y físico son idénticos a las exigencias de la teoría de la
relatividad. En este respecto el tiempo difiere del espacio porque, físicamente,
todas nuestras percepciones simultáneas se refieren a un mismo lugar. [...] Así,
pues, la conclusión que podemos sacar parece ser la siguiente: el tiempo
psicológico puede ser identificado con el tiempo físico, porque ninguno de ellos
es un dato, sino que cada uno se deriva de otros datos, por deducciones
[...]."
p.
315:
"[...] La única actitud legítima respecto al mundo físico nos parece que
debe ser la de un completo agnosticismo en lo que concierne a todo lo que no
sean sus propiedades matemáticas. [...]"
Parte
Tercera.
p. 319/
320:
"Hemos encontrado hasta ahora que lo que nosotros conocemos del mundo
físico puede dividirse en dos partes: por un lado, el conocimiento concreto,
pero discontinuo de las percepciones; por otro, el conocimiento abstracto pero
sistemático del mundo físico, tomado como un todo. [...]"
p. 323/
324:
"[...] Las paradojas del movimiento, las antinomias, la objeción de
Bergson al análisis y la insistencia de los filósofos en que el continuo
cantoriano no resuelve sus dificultades, se derivan todas de este mismo problema
de que un movimiento parece componerse de movimientos, o, según dice Kant, de
que un espacio está compuesto de espacios."
p. 328 y
355:
"[...] Nosotros percibimos acontecimientos [—campos de co-presencia—], no
sustancias; es decir, que lo que percibimos ocupa un volumen de espacio-tiempo,
[...]."
p. 363/
364:
"La noción de causalidad ha quedado grandemente modificada, al hacer la
sustitución del espacio y del tiempo por el espacio-tiempo. [Para] adaptar
nuestra terminología a las necesidades modernas, acontecimientos separados por
intervalos son seudo-tiempos. [Podemos] distinguir los intervalos de
seudo-tiempo de los seudo-espacio, diciendo que los primeros se producen allí
donde existe alguna relación causal directa, en tanto que los últimos se
producen cuando los dos acontecimientos están relacionados con un predecesor
común o con un común descendiente. [...]"
p.
368:
"[...] La historia de un trozo de materia es una «línea de universo»; la
historia de una onda luminosa no lo es. [...]"
p.
372:
"[...] en la teoría de Heisenberg el electrón no es un punto, ni tampoco
tiene magnitud finita, puesto que las concepciones espaciales ordinarias no son
aplicables a él. [...]"
p.
373:
"[...] la continuidad no es la esencia de la identidad material;
[...]."
p.
374:
"Así, cada unidad material es una línea causal, cuyos puntos cercanos
están conectados entre sí por medio de una ley diferencial intrínseca. La forma
más sencilla de esta ley es la primera ley del movimiento,
[...]"
p.
377:
"Llamamos ley causal «extrínseca» a cualquier fórmula en que aparezca una
porción de materia ejerciendo su influjo sobre el comportamiento de otra.
[...]"
p.
379:
"[...] El mundo físico es aquel que es causalmente continuo con las
percepciones, y lo que no tiene esta continuidad cae fuera de la física.
[...]"
p.
382:
"Pero ¿qué debemos decir acerca de la emisión y de la absorción de luz?
[Que] todas las percepciones visuales implican este proceso de absorción de luz.
Y si la percepción puede ser alguna vez una fuente de conocimiento de las cosas
existentes fuera del cuerpo del percipiente, debe haber leyes causales que
relacionen lo que ocurre al percipiente con lo que acontece fuera.
[...]"
p.
384:
"[...] En el estado presente del conocimiento físico es necesario dejar
abierta la cuestión de si la luz se transmite en una sola dirección o si lo hace
según una onda esférica. [...]"
p.
384:
"[...] Cuando la luz es absorbida, deja de existir como luz, aunque puede
reaparecer (en la fluorescencia). Pero frecuentemente su energía existe en
formas descubribles —formas químicas, en la clorofila, por ejemplo. En cambio,
cuando la energía existe en forma de un movimiento estable del electrón en su
órbita, no es descubrible hasta que se produce un cambio de órbita.
[...]"
p.
388:
"Es imposible eliminar totalmente el factor subjetivo en nuestro
conocimiento del mundo, puesto que no podemos averiguar experimentalmente qué
aspecto ofrece el mundo desde un punto en que no haya nadie para verlo.
[...]"
p.
396:
"La acción se define, generalmente, como la integral temporal de la
energía, puesto que la energía puede ser identificada con la masa, la «acción»
puede definirse también como la masa multiplicada por el tiempo. La masa
gravitatoria es una longitud; por ejemplo: la masa del sol es 1,47 kilómetros
(Eddington, op. cit., p. 87). Como la masa gravitatoria y la inerte son iguales,
podemos considerar la acción como longitud multiplicada por el tiempo.
[...]"
p.
410:
"[...] la frecuencia de una onda luminosa es una característica que ésta
tiene en relación con la materia, no en relación consigo misma.
[...]"
p. 413 y
433:
División de los acontecimientos físicos, y que tienen leyes diferentes
cada una en sí:
- fijos (los de "movimientos fijos")
- ritmos (procesos periódicos)
-
trans-acciones (transición de quanta, en los que los cambios de quanta en que la energía pasa de un
sistema a otro)
Pero que
tienen leyes que las relacionan:
- fijos con ritmos ® leyes de la armonía
p.
415:
"[...] Lo que comúnmente se llama frecuencia de una onda luminosa es su
frecuencia con relación a ejes fijados
relativamente al cuerpo emisor. [...]"
p.
415:
"[...] Si queremos comprender la luz en sí misma, no en su relación con
la materia, debemos dejar que nuestros ejes viajen con ella.
[...]"
p. 417/
418:
"[Hablando de la velocidad rotativa del electrón] Pero ¿porqué tiene el
electrón que estar afectado por este hecho? ¿Por qué ha de estar relacionada con
él su capacidad de emitir luz? debe ocurrir algo allí en donde el electrón se
encuentra, si el proceso ha de ser inteligible. Esto nos retrae a las ecuaciones
de Maxwell como rectoras de lo que ocurre en el medio. Y tiene que haber un
carácter rítmico en los acontecimientos que se producen donde está el electrón,
si queremos evitar las complicaciones que supone el admitir la acción a
distancia."
p.
428:
"[...] Hay una relación causal dondequiera que dos acontecimientos, o dos
grupos de acontecimientos, de los cuales uno por lo menos es co-puntual, están
relacionados por medio de una ley que permite, partiendo de uno, deducir algo
sobre el otro. [...] Diremos entonces que todas las relaciones causales
consisten en una serie de ritmos o de acontecimientos fijos, separados por
«trans-acciones». [...]"
p.
431:
"[...] Si hemos de admitir que la luz procedente de una estrella altera
su dirección al pasar cerca del sol, tendremos que pensar que el viaje de la luz
es un proceso, no un mero acontecimiento continuado.
[...]"
p.
431:
"[...] La gravitación consiste en el hecho de que una geodésica es
geométricamente diferente de lo que sería en ausencia del campo gravitatorio; la
trayectoria de la luz no resulta «en realidad» desviada, sino que, en cada caso,
es «realmente» la más corta geométricamente posible.
[...]"
p.
432:
"Decir que la mayor velocidad de la naturaleza es la de la luz equivale a
afirmar que, cuando dos transiciones son el principio y el fin respectivamente
de un acontecimiento luminoso, no existe transición que sea descendiente causal
de una y antecedente causal de la otra. [...]"
p.
432:
"[...] el intervalo entre dos puntos de un rayo luminoso [es] cero.
[...]"
p. 435/
436:
"No hay dificultad ninguna para definir lo que se entiende al decir que
un acontecimiento fijo «se mueve». Un acontecimiento E ocupa un cierto número de
puntos de espacio-tiempo, cuyo conjunto puede imaginarse como un tubo
cuatridimensional divisible en secciones, tales que todos los puntos de una
sección resulten simultáneos y sean todos anteriores o todos posteriores a todos
los puntos de otra de las secciones. Consideremos entonces que nuestro
acontecimiento E se mueve a lo largo del tubo y va ocupando sucesivamente las
diferentes secciones instantáneas. [...]"
p.
436:
"[...] en lo que se me alcanza no existe adecuado fundamento para suponer
que el movimiento es continuo; vale la pena por ello desarrollar una hipótesis
discontinua, [...]"
p.
443:
"[...] La segunda ley de la termodinámica establece un proceso
irreversible, pero es puramente estadístico. [...]"
p. 445/
446:
"Todo el
materialismo como el idealismo, han incurrido, inconscientemente, y a pesar de
sus explícitas protestas, en una confusión al imaginar su concepción de la
materia. Han creído que la materia del mundo exterior viene representada por las
percepciones del individuo, cuando éste ejercita la vista y el tacto, en tanto
que, en realidad, dichas percepciones forman parte de la materia del cerebro del
percipiente. [...] Pero estudiando nuestras percepciones obtenemos también un
conocimiento que no es puramente formal en lo que se refiere a la materia que
constituye nuestros cerebros. [...]"
p.
446:
"[...] Yo diría que lo que ve el fisiólogo cuando examina un cerebro es
una parte del suyo propio, no del que está examinando. [Así,] nuestras
percepciones se encuentran en nuestros propios cerebros,
[...]."
p.
447:
"[...] ¿Puede ser un acontecimiento mental co-presente de un
acontecimiento físico? [...] Esta es, por tanto, la cuestión
esencial."
p.
447:
"[...] Un trozo de materia es una estructura lógica, compuesta de
acontecimientos; las leyes causales de los acontecimientos en cuestión y las
propiedades lógicas abstractas de sus relaciones espacio-temporales son más o
menos conocidas, pero su carácter intrínseco es desconocido por completo.
[...]"
p.
447:
"[...] No hay,
por tanto, base alguna para la suposición de que las percepciones no puedan ser
acontecimientos físicos o para la de que aquéllas nunca puedan ser co-presentes
con otros acontecimientos físicos."
p.
448:
"Por todo lo
expuesto, afirmamos que dos percepciones simultáneas de un mismo percipiente
tienen la relación de co-presencia, fuera de la cual se produce el orden
espacio-temporal. [...]"
p.449:
"[...] La materia que nosotros construimos es impenetrable por
definición; en efecto, la materia en un lugar cualquiera está constituida por
todos los acontecimientos que allí se dan, y en consecuencia, no puede existir
en el mismo sitio ningún otro acontecimiento o trozo de materia.
[...]"
p.
453:
"[...] Es evidente que un hombre que puede ver conoce muchas cosas
desconocidas para un ciego, pero a este último le es posible conocer la
totalidad de la física [—no está "engañado" por la vista, o correlación
perceptual—]. Así, pues, el conocimiento que los demás poseen y de que este
último carece no forma parte de la física."
p.
461:
"[...] Parece que la energía puede dividirse en porciones que se mueven
según líneas geodésicas; cuando se mueven con una velocidad menor que la de la
luz, se considera que son trozos de materia. [...]"
p. 461/
462:
Creo que Russell afirma lo radical pitagórico en el
cuadrivector:
s2 = rx2 +
ry2 +
rz2 +
t2
p.
463:
"[...] El solipsismo, como teoría seriamente epistemológica, afirma la
idea de que no hay modo de deducir de los acontecimientos que experimentamos el
carácter de los mismos, y ni siquiera la existencia de los que no
experimentamos. [...]"
p.
464:
"Ocupando una posición intermedia entre el solipsismo y las ideas
científicas corrientes, existe una teoría llamada «fenomenalismo». Esta teorías
admite que hay otros acontecimientos además de los que experimentamos, pero
sostiene que aquellos son, en su totalidad, percepciones u otros acontecimientos
mentales. Prácticamente ello quiere decir (cuando la teoría viene definida por
hombres de ciencia) que éstos aceptan el testimonio de otros observadores en lo
que han experimentado realmente, pero se niegan a deducir de aquí cualquier cosa
que no haya sido experimentada por observador alguno.
[...]"
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
RUSSELL,
Bertrand: Introducción a la filosofía
matemática, trad. por Florencio D. Jaime y luego por Juan B. Molinari, Bs.
As., Losada, 1945, fragmentos.
Compendia:
Eugenio Tait
"Las cinco proposiciones primitas
que Peano admite son: 1a Cero es un número; 2a El sucesivo de un número es un número;
3a Dos números nunca tienen un
mismo sucesivo; 4a Cero no
es el sucesivo de ningún número; 5a Toda propiedad que pertenezca a cero y al
sucesivo de un número que tenga esa misma propiedad, pertenecerá a todos los
números [propiedad inductiva]." (Cap.
I, p. 16)
"Se dice que
una propiedad es «inductiva» cuando es una propiedad hereditaria que pertenece a
cero. [...]" (Cap. III, p. 40)
"[...] No existe ningún número cardinal inductivo que corresponda a m/0.
Nosotros podemos llamarla «el infinito de los números racionales». Este es un
ejemplo del tipo de infinito que es clásico en la matemática, y que está
representado por «¥». Esto es totalmente diferente del infinito Cantoriano, que consideraremos
en el siguiente capítulo. El infinito de los racionales no requiere, ni por
definición ni por su uso, ninguna clase infinita de enteros infinitos. [...] Se
observará que cero e infinito, considerados como relaciones, no son del tipo de
«uno a uno». Cero es una relación de «uno a varios», e infinito es una relación
de «varios a uno»." (Cap. VII, p. 96)
"[...] Si n es un número
inductivo cualquiera, el número de elementos desde cero a n (incluidos ambos) es n +1. En consecuencia el número total de
los números inductivos es mayor que n
, cualquiera que sea el número inductivo n. Si ordenamos los números inductivos
en una sucesión por orden de magnitud, esta sucesión no tiene último elemento;
[...]. En esta forma el número de los números inductivos es un nuevo número,
diferentes de todos ellos, y que no posee todas las propiedades inductivas.
[...] El hecho de no variar por la adición de 1 es empleado por Cantor para
definir lo que él llama número cardinal «transfinito»; pero, por diversas
razones, algunas de las cuales aparecerán más adelante, es mejor definir un
número cardinal infinito como un número que no pese todas las propiedades
inductivas, es decir, simplemente como un número que no es inductivo. [...]"
(Cap. VIII, pp. 116-117)
"[...] Una clase «reflexiva» es toda aquélla que es coordinable con una
de sus propias partes. [...] Un número cardinal reflexivo es el número cardinal
de una clase reflexiva. [...] La relación de n
con n +1, limitada los números
inductivos, es una relación de «uno a uno»; [...]." [v.g.: n es reflexivo
por relacionarse con 2n (paridad de n) y también inductivo por
relacionarse con n + 1] (Cap. VIII,
pp. 118-119)
"[...] Por otra parte, la relación de n con 2n , limitada a los números inductivos,
es de «uno a uno», teniendo como dominio a la totalidad de los números
inductivos y como dominio recíproco solamente a los números inductivos pares. De
aquí que el número total de números inductivos es el mismo que el de los números
inductivos pares. Esta propiedad fue empleada por Leibniz (y por muchos otros)
como una prueba de que los números infinitos son imposibles; se pensó que era
contradictorio que «la parte pudiera ser igual al todo». Pero esta es una
afirmación cuyo fundamento es muy impreciso para ser aceptada." (Cap. VIII, p.
119)
"[...] Cantor ha adoptado el Alef hebreo con subíndice cero [para
designar el menor número cardinal infinito], a fin de distinguirlo de los
números cardinales infinitos mayores, a los cuales asigna con otros subíndices.
Así el nombre del número cardinal infinito menor es À 0." (Cap. VIII,
p. 123)
"[...] el número de las razones (o fracciones) es exactamente el mismo
que el de los números inductivos, es decir À 0." (Cap. VIII, p.
124)
"No obstante, no es el caso de que todo tenga À 0 elementos. El
número de los números reales, por ejemplo, es mayor que À 0; es, en
efecto 2À 0, y no es difícil demostrar que 2n es mayor que n, aun cuando n es infinito. [...]"
(Cap. VIII, p. 125)
"[...] no existe máximum para los números cardinales infinitos. Por
grande que sea un número infinito n,
2n será todavía mayor. La
aritmética de los números infinitos es algo sorprendente cuando no se está
acostumbrado a ella. Tenemos por ejemplo: À 0 + 1 = À 0, À
0 + n = À 0,
cuando n es un número inductivo
cualquiera; y À 02 = À 0. [...] También: À
0n = À
0, [...]. Pero 2À 0 > À 0." (Cap. VIII, pp.
127-128)
"Aunque la adición y la multiplicación son siempre posibles con números
cardinales infinitos, la substracción y la división no dan resultados definidos
y no pueden emplearse como se lo hace en aritmética elemental. Comencemos con la
substracción: mientras el número a restar es finito, no hay inconveniente; si el
otro número es «reflexivo», no cambia. Así À 0 - n = À0, si n es finito; hasta este momento la
substracción da un resultado preciso. Pero es distinto cuando restamos À
0 de sí mismo; podemos obtener entonces cualquier resultado, desde
cero hasta À 0. [...] Con respecto a la división, se llega a
resultados muy semejantes por el hecho de que À 0 no cambia si se lo
multiplica por 2, por 3, o por cualquier número finito n o por À 0. De donde se
sigue que À 0 dividido por À 0 puede dar cualquier valor
desde 1 hasta À 0." (Cap. VIII, pp. 128-129)
"Por la ambigüedad de la substracción y de la división, resulta que las
nociones de número negativo y de razón no pueden ser extendidas a los números
infinitos. en la adición, multiplicación y potenciación no hay dificultades,
pero en las operaciones inversas —substracción, división y extracción de raíces—
resultan imprecisas, y las nociones que provienen de ellas no son válidas cuando
se trata de números infinitos." (Cap. VIII, p. 129)
"La característica por la cual definimos lo finito fue la inducción
matemática, [...] a partir de cero, [...]." (Cap. VIII, p.
129)
"[...] La totalidad del cálculo diferencial e integral, y en verdad,
prácticamente toda la matemática superior, depende de la noción de límite.
Anteriormente se suponía que los infinitesimales estaban incluidos en los
fundamentos de esta noción, pero Weierstrass demostró que esto era un error;
cuando se estaba en presencia de lo que se creía que eran los infinitesimales se
estaba, en realidad, frente a un conjunto de cantidades finitas que tienen como
límite inferior a cero. Habitualmente se consideraba a este «límite» como una
noción esencialmente cuantitativa, es decir, como una cantidad a la cual otras
se aproximaban cada vez más, hasta poder diferir de ella en menos que cualquier
cantidad dada. Pero, en realidad, la noción de «límite» es puramente ordinal y
no implica idea alguna de cantidad (salvo, accidentalmente, cuando el conjunto
considerado es cuantitativo). Un punto dado sobre una línea puede ser el límite
de un conjunto de puntos de la misma, sin que sea necesario introducir
coordenadas, medidas o términos cuantitativos de ninguna naturaleza. El número
cardinal À 0 es el límite (en orden de magnitud) de los números
cardinales 1, 2, 3,... n,... aunque
la diferencia entre À 0 y un número cardinal finito sea constante e
infinita. Desde un punto de vista cuantitativo, los números finitos se aproximan
tanto más a À 0 cuanto más va aumentando; lo que hace a À
0 el límite de los números finitos es el hecho de que en la sucesión
va inmediatamente después de ellos, hecho que es de carácter ordinal y no cuantitativo." (Cap. X, pp.
142-143)
"En este capítulo nos ocuparemos de la definición del límite de una función (si lo tiene)
[...]." (Cap. XI, p. 154)
"Se dice que la «función f (x) es continua» para el argumento a cuando, para cada número positivo s,
diferente de cero pero tan pequeño como se quiera, existe un número positivo e,
diferente de cero, tal que, para todos los valores de d que sean numéricamente
menores [se dice que un número es «numéricamente menor» que e cuando está entre
-e y +e]) que e, la diferencia f (a + d) - f (a) sea numéricamente menor que s." (Cap.
XI, p. 158)
"[...] Sabemos que 2 X À 0 = À 0.[...]" (Cap. XII,
p. 180)
GEORG CANTOR, matemático danés que nació en 1845 y murió en 1918, fue el
creador de la teoría de los conjuntos, a la cual debe la Matemática en general y
la Aritmética en particular uno de sus más notables perfeccionamientos. La
referida teoría expuesta por el autor en sucesivas Memorias publicadas en Mathematische Annalen, entre los años
1872 y 1895. De estas Memorias, la que se refiere a los conjuntos infinitos se
publicó en 1895 con el título «Beiträge
zur Borgründung der transfiniten Mengenlehre» en Math. Ann. 46 (pág. 481) y,
traducida al italiano, en la «Revista Matemática» 5 (pág. 129). (N. de F. D. J.)
(Cap. VIII, p. 114)
RUSSELL,
Bertrand: Nuestro conocimiento del mundo externo (1914), trad. por Ricardo J.
Velzi, Bs. As., Losada, 1946, fragmentos.
Compendia:
Eugenio Tait