Cálculo

Sistema de reglas para operar con signos y ampliar las posibilidades del pensamiento, no separado del contenido, en la resolución de problemas y en la demostración de juicios expresables mediante los recursos (en el «lenguaje») del cálculo dado. La peculiaridad característica del cálculo estriba en que los objetos con los cuales se opera son objetos materiales (cifras, letras y otros signos) que prácticamente no cambian durante el proceso en que se les aplica las reglas del cálculo. El significado de todo cálculo se basa en poner en relación con los elementos del contenido que se estudia, los objetos con los que en el cálculo se puede operar sólo mediante reglas exactas establecidas de antemano. En este sentido, los cálculos sirven de envoltura material para el contenido que se refleja en los razonamientos. Históricamente, los cálculos han surgido y se han desarrollado en el marco de la matemática (por ejemplo, el cálculo diferencial y el integral, &c.); más tarde, el método de cálculo se extendió a la lógica, aparecieron cálculos lógicos y lógico-matemáticos, lo cual dio origen a que la lógica se estructurase como ciencia matemática o simbólica. La representación de determinadas esferas del saber, sobre todo en las ciencias deductivas, bajo el aspecto de cálculos estructurados sobre la base de métodos elaborados en la lógica moderna, constituye la manera más consecuente de formalizar esta esfera del saber; la eficacia de semejante formalización queda confirmada por la aplicación práctica de la moderna técnica de cálculo y por todo el desarrollo de la cibernética. (Método logístico). [55]

Cálculo de predicados

Es una ampliación del cálculo proposicional mediante la formalización de las inferencias que se basan en la estructura interna de las proposiciones. Sobre este particular, uno de los conceptos fundamentales del cálculo de predicados es el de predicado de una o varias objeto-variables: P (X₁ ... X_n), donde P es predicativa y X₁ ... X_n, son objeto-variables. En el cálculo de predicados simples (de primer grado), los predicados de objeto-variables se conectan con los cuantificadores (de generalidad: ¶ y o de existencia: Ñ). La axiomática del cálculo de predicados se obtiene de los axiomas y reglas de inferencia del cálculo preposicional añadiendo dos axiomas: ¶x P(x) § P(y), P(y) § Ñx P(x) y las siguientes reglas de inferencia: si se ha inferido la fórmula C § D(x), entonces se infiere C § ¶x D(x); si se ha inferido la fórmula D(x) § C, entonces se infiere Ñx D(x) § C. El calculo de predicados es no-contradictorio y completo en el sentido de que en él puede inferirse toda fórmula de identidad-veracidad. El problema de la decidibilidad es insoluble (como lo ha demostrado Alonzo Church). La conexión mediante cuantificadores no sólo de objeto-variables, sino, además, de predicados variables, da un cálculo de predicados ampliado (de segundo grado).

Cálculo proposicional

(cálculo de proposiciones). Sistema lógico (Cálculo) que formaliza los razonamientos basados en relaciones de verdad entre proposiciones que se examinan haciendo abstracción de su estructura interna de sujeto-predicado. Son posibles distintas formulaciones de cálculo proposicional. Por ejemplo, se da la definición inductiva de la fórmula: 1) las variables proposicionales p, q, r... son fórmulas; 2) si A es una fórmula, entonces (Aœ) es una fórmula; 3) si A y B son fórmulas, entonces (A) § (B), (A) Ë (B), (A) · (B) son fórmulas; 4) algo distinto no es una fórmula. Se denomina axioma la fórmula que tiene uno de los siguientes aspectos: 1) A § (B § A); 2) (A · B) § A; 3) (A § B) § ((A § (B § C)) § (A § C)); 4) (A · B) § B; 5) A § (B § (A · B)); 6) A § (A Ë B); 7) B § (A Ë B); 8) (A § C) § ((B § C) § ((A Ë B) § C)); 9) (A § B) § ((A § Bœ) § A); 10) A § A (donde el trazo sobre los símbolos es signo de negación, · es signo de conjunción, § es signo de implicación y Ë es signo de disyunción). En calidad de regla de la inferencia se admite: si A y A § B, se sigue directamente B. Partiendo de esta base, se da la definición de fórmula inferible en el cálculo proposicional de inferencia y de demostración. El cálculo proposicional posee un carácter no contradictorio (No-contradicción), completitud (Completitud de la teoría axiomática). El problema de la decidibilidad es soluble. Acerca de los cálculos proposicionales no clásicos, véase Lógica constructiva, Lógica polivalente.