Completitud de la teoría axiomática

Requisito que se presenta a las teorías axiomáticamente estructuradas; consiste en que, en un sistema dado, han de ser demostradas (es decir, inferidas de axiomas) todas las proposiciones verdaderas de la teoría. Teniendo en cuenta la diferencia que existe entre teorías axiomáticas sintácticas y semánticas (Método axiomático), se establecen diferencias entre los requisitos de completitud; así, se distinguen requisitos de completitud sintácticos de sentido fuerte (todas las proposiciones de cierto sistema son inferibles o refutables en él) y de sentido débil (una proposición que se añada a los axiomas de un sistema y no sea inferible en el sistema dado, se vuelve contradictoria), requisitos de completitud semántica respecto a un modelo determinado (cada proposición correspondiente a un enunciado verdadero en un modelo determinado es inferible en dicho sistema), &c. En el curso de las investigaciones de teorías axiomáticas suficientemente ricas (por ejemplo, de la aritmética) se demostró (Kurt Gödel, 1931, y subsiguientes resultados) que dichas teorías, en principio, carecen de completitud, es decir, se dan proposiciones que, en los límites de las teorías indicadas, son indemostrables e irrefutables. En consecuencia, el requisito de completitud no constituye una condición totalmente inevitable de una axiomatización lograda: teorías que carecen –en mayor o menor grado– de completitud tienen un valor práctico.