Alfarabi · Catálogo de las ciencias
Artículo III

De la ciencia de las matemáticas

Esta ciencia se divide en siete grandes partes, que ya hemos enumerado al principio del libro. Con el nombre de Ciencia de la aritmética se conocen dos clases: 1ª, aritmética práctica; 2ª, aritmética teórica.

La aritmética práctica se ocupa de los números, en cuanto que son números para los cuerpos o las cosas semejantes, cuya medida necesita precisarse. Ejemplo: hombres, caballos, dinares, dirhemes u otras cosas numerables. Estos son los números que usa el pueblo en las transacciones comerciales de los zocos y de las ciudades.

La aritmética teórica solamente se ocupa de los números en abstracto, en cuanto que en la mente están separados de los cuerpos y de todos los objetos numerados. Y no especula sobre ellos sino en cuanto que están abstraídos de todos los cuerpos sensibles que pueden numerar, y de todo respecto que abarca a la totalidad de los números que sirven para numerar las [40] cosas sensibles y las insensibles. Esta última clase de aritmética es la que entra en el cuadro de las ciencias.

La aritmética teórica trata de los números haciendo abstracción de todas sus propiedades esenciales simples, que no se relacionan entre sí, como, por ejemplo, el par y el impar, y de todas aquellas propiedades que los relacionan entre sí, como, por ejemplo, la que existe entre números iguales y desiguales, múltiplos y divisores, el ser o no ser proporcionales, el ser o no ser semejantes, el ser conmensurables o inconmensurables.

Además se ocupa [la aritmética teórica] de las propiedades de la suma de los números entre sí, de su multiplicación, de su resta y de su división; de sus potencias, como, por ejemplo, el cuadrado y el cubo, y en los números compuestos, como el rectangular, o del de tres dimensiones, perfecto o no perfecto. De todo esto, pues, se ocupa y de las propiedades por las que los números se relacionan entre sí, y enseña, además, el modo con que se deduce un número de otro conocido, y, en resumen, de todas las operaciones que resultan de los números.

De la ciencia de la geometría

La ciencia designada con esta palabra es de dos clases: geometría práctica y geometría teórica.

La geometría práctica estudia líneas y superficies [materiales], el cuerpo madera, si el que la emplea [la geometría] es carpintero; el cuerpo hierro, si es herrero [41]; el cuerpo pared, si es albañil; las superficies y medidas de las tierras, si es agrimensor; y lo mismo todo geómetra práctico, pues solamente se imagina las líneas, las superficies, los cuadrados, los triángulos y las circunferencias en cuerpo de las materias que son los objetos de esta ciencia práctica.

La geometría teórica solamente estudia las líneas, las superficies y los cuerpos en abstracto y en general [por su figura], y bajo el respecto por el cual comprende a las superficies de todos los cuerpos. Se imagina las líneas en el aspecto más general en que no se piensa en qué cuerpo estén, y lo mismo se imagina las superficies, los triángulos, los cuadrados y los círculos bajo su aspecto más amplio, sin pensar en qué cuerpo estén; en este mismo aspecto general considera los cuerpos geométricos sin concretarlos a una materia o a algo sensible; antes, por el contrario, los considera en abstracto, sin pensar que un cuerpo geométrico determinado es madera, pared o hierro, sino la forma común a éstos.

Esta última clase [la teórica] es la que entra en el conjunto de las ciencias, y se ocupa de las líneas, superficies y cuerpos geométricos en abstracto, de sus figuras, de sus medidas, de sus igualdades, de sus desigualdades, de sus posiciones, de su orden y de todas sus propiedades, como el punto, los ángulos, &c. Trata además de los [cuerpos] proporcionales y de los que no son proporcionales, de los conmensurables, de los inconmensurables, de los racionales e irracionales [42] y de las clases de estos dos últimos. Enseña el modo de construir todas y cada una de las figuras y cuerpos que constituyen el objeto de la Geometría, y de qué modo deduce todo lo que es propio que deduzca de ellas; enseña, además, las causas de todo esto y por qué ello sea así, con demostraciones apodícticas que nos dan la ciencia cierta, en la que no es posible duda alguna. Esto es el conjunto de lo que trata la Geometría.

Esta ciencia tiene dos partes: una parte que estudia las líneas y las superficies, y otra parte que estudia los cuerpos. La que estudia los cuerpos se subdivide según las especies de los cuerpos, como, por ejemplo, el cubo, el cono, la esfera, el cilindro, los prismas, ¿las secciones cónicas? El estudio de todo esto se hace bajo dos respectos: primero, que se estudie cada uno de ellos en sí, como el estudio de las líneas, de las superficies, del cubo, del cono separadamente; segundo, que se estudien estos cuerpos y sus propiedades en cuanto que se relacionan unos con otros; y esto, bien en el caso de que unos se midan por otros, en el cual estudiará su igualdad, su desigualdad u otras propiedades distintas, bien en el caso que algunos se coloquen en los otro y se fijen, como si se coloca y se fija una línea en una superficie, o una superficie en un cuerpo, o una superficie en otra superficie, o un cuerpo en otro cuerpo.

Conviene hacer notar que la Geometría y la Aritmética tienen bases y principios, y las demás cosas se derivan de estos principios. Los principios son cosas definidas; lo que se deriva de estos principios, cosas indefinidas. En el libro atribuido a Euclides [p. 36] [43] el Pitagórico se encuentran los principios de la geometría y de la aritmética; es el llamado Libro de los elementos. El estudio de esta materia se puede hacer por dos métodos: analítico y sintético. Los más antiguos que se ocuparon de esta ciencia reunieron en sus libros estos dos métodos, excepto Euclides, que en su libro emplea solamente el método sintético.

Ciencia de los aspectos [óptica]

Trata de lo mismo que trata la geometría: las figuras, las magnitudes, las posiciones, el orden, la igualdad, la desigualdad, &c.; pero no en cuanto que estas cosas existen en las líneas, superficies y cuerpos en abstracto. La geometría, en cambio, trata de todas estas cosas en cuanto que existen en líneas, superficies y cuerpos en abstracto. Es, pues, el estudio de la geometría más general.

Ahora es preciso determinar la ciencia de los aspectos [óptica] y ver si abarca la totalidad de lo que trata la geometría, puesto que la mayor parte de las cosas que por necesidad estudia la geometría, en cuanto que tienen algún respecto de figura, de posición, de orden, &c., vienen a convertir estos respectos en lo contrario cuando se los mira. Y así, aquellas cosas que en realidad son cuadradas, si se las mira desde una cierta distancia, se ven redondas; las que están juntas se ven separadas; las que están separadas se ven iguales; muchas de las que están colocadas en un mismo plano, parecen unas más bajas y otras más altas; parte de las que están delante parece que están detrás, [44] y cosas semejantes a éstas [que se citan]. Y esta ciencia distingue entre lo que aparece a la vista de otra manera de como en realidad es, y lo que aparece como es realmente; da además las causas de todo esto y si esto es así por demostraciones apodícticas. Enseña, acerca de todo aquello en lo que es posible que yerre la vista, los medios de ingenio para que no yerre, sino que, por el contrario, sepa realmente en la cosa que ve, su cantidad, su figura, su posición, su orden y los medios de ingenio para no errar en todo lo demás acerca de lo que puede equivocarse la vista.

El arte permite al hombre medir la distancia de las magnitudes lejanas, a las cuales no se puede llegar, y la cantidad de las distancias respecto de nosotros y las distancias entre sí; y esto, por ejemplo: la altura de los árboles grandes y de las paredes, la anchura de los valles y ríos, la altura de los montes, la profundidad de los valles y los ríos después que se ha dirigido la vista a sus extremos; las distancias de las nubes, &c., del lugar en que nosotros estamos y enfrente de qué lugar de la tierra están; las distancias de los cuerpos celestes y sus cantidades en cuanto que es posible que se los mire según la inclinación del que los contempla; y, en resumen, toda magnitud cuya cantidad o cuya distancia de algo se pretende medir, después que se ha mirado. Unas cosas se hacen con instrumentos, para certificar la vista a fin de que no yerre, y otras se hacen sin instrumentos. Y todo lo que se mira y se ve, solamente se ve por medio de un rayo que atraviesa la atmósfera y todo cuerpo transparente y aumenta nuestra vista, hasta que se pone sobre el [45] objeto visto. Los rayos que penetran los cuerpos transparentes hasta el objeto visto pueden ser rectos o reflejos, conversos o fractos. Rectos son los que cuando salen de la vista marchan en la recta dirección de la vista hasta que pasan y se cortan.

Reflejos son aquellos que cuando empiezan a salir de la vista encuentran en su camino, antes que hayan pasado, un espejo, el cual espejo los desvía del paso en línea recta, reflejándose oblicuamente en uno de los lados del espejo; después sigue en el lado en que lo desvió el espejo hacia delante del espectador; como se ve en esta figura:

Conversos son aquellos que vuelven del espejo por el mismo camino por el que primeramente habían marchado, hasta que caen sobre el cuerpo del que mira, de cuya vista salieron: por tanto, el hombre que mira se ve a sí mismo en el mismo rayo. Los fractos son aquellos que vuelven del espejo a la parte del que mira, de cuya vista salieron; pasan oblicuamente ante él por uno de sus lados y caen sobre otro objeto, bien detrás del que mira, bien a su derecha o a su izquierda, bien por encima de él; y el hombre ve lo que está detrás de él, o en uno de sus otros lados. La vuelta de estos rayos es conforme a esta figura: [46]

El medio entre la vista y el objeto visto, y el espejo, son, en resumen, los cuerpos transparentes: el aire, el agua, un cuerpo celeste o algunos cuerpos compuestos artificialmente de cristal, o cosas de este género. Los espejos que reflejan los rayos y les impiden seguir su camino, pueden ser compuestos artificialmente de hierro bruñido o de otra cosa, o de madera opaca pulimentada, o de agua, o de otro cuerpo cualquiera que sea de semejante naturaleza.

La ciencia, pues, de los aspectos [óptica] trata de todo lo que se ve o se mira por medio de estas cuatro clases de rayos en cada uno de los espejos, y de todo lo perteneciente al objeto visto. Se divide en dos partes: la primera es el tratado de lo que se mira por medio de los rayos rectos; la segunda el tratado de lo que se mira por medio de los otros rayos. Y ésta es propiamente la ciencia de los espejos.

Ciencia de la astronomía

Se distinguen con este nombre dos ciencias: una, la ciencia de los juicios de las estrellas, que es la ciencia de las señales de las estrellas sobre lo que va a suceder en lo futuro, sobre muchas cosas existentes en el momento y sobre muchas que ya pasaron [Astrología]. La segunda es la ciencia matemática de los astros [Astronomía], y ésta es la que se conoce y se enumera entre las ciencias matemáticas, pues aquélla solamente es la que se enumera entre las potencias y [47] oficios con los cuales puede el hombre precaverse respecto de lo que ha de suceder, como, por ejemplo, la interpretación de los sueños, los augurios por el grito y el vuelo de las aves, y otras facultades parecidas a éstas.

La astronomía matemática se ocupa de los cuerpos celestes y de la tierra en tres formas: 1ª, de sus figuras, las posiciones de unos respecto de otros, su orden en el mundo por respecto a las magnitudes de sus cuerpos [masas], la relación de unos con otros y las magnitudes de sus extensiones unas respecto de otras, y de que la tierra, en su totalidad, no tiene traslación de su lugar ni en su lugar [rotación y traslación]; 2ª, de las clases de movimientos de los cuerpos celestes, de que todos estos movimientos son circulares y cuáles de ellos son los que son comunes a la totalidad de los astros, bien sean estrellas o no lo sean, y los que son comunes a todas las estrellas; además, de los movimientos especiales de cada estrella, la cantidad de clases de movimientos, las direcciones en que se mueven, y en qué dirección tiene cada una su movimiento; y enseña el medio de distinguir ciertamente el lugar de cada estrella según las partes del Zodíaco en cada tiempo, en cualquiera de las clases de movimiento. Se ocupa, además, de todos los movimientos inherentes a los cuerpos celestes y a cada uno de ellos en el Zodíaco, de las relaciones de unos con otros respecto a conjunciones y separaciones y posiciones respectivas; y, en resumen, de todos los movimientos que les son inherentes, excepto su relación a la tierra, como el eclipse de sol; y de todas las cosas que les suceden [48] [a los cuerpos celestes] por causa de su posición respecto de la tierra, según el lugar del mundo en el cual están, como el eclipse de luna. Demuestra todas estas propiedades, y su cantidad, y de qué forma, en qué tiempo les sucede esto y en cuánto tiempo, como, por ejemplo, el salir el sol, el ponerse, &c.; 3ª, trata de la tierra en cuanto que está habitada o no habitada, la cantidad de la parte poblada, cuántas son sus grandes divisiones, o sea los climas; cuenta los lugares en los que coincide cada clima en un tiempo y dónde está el sitio de cada población y su relación en el mundo; se ocupa de todo lo que necesariamente va unido a cada clima y población por la rotación del mundo, común a todo [el universo?], que es la rotación del día y de la noche, por causa de la posición de la tierra en el lugar en donde en cada momento está, como, por ejemplo, el amanecer y el anochecer, el alargarse o el acortarse los días y las noches, y otras cosas parecidas.

Esto es, en resumen, en lo que esta ciencia se ocupa.

Ciencia de la música

Se ocupa, en resumen, en dar a conocer las clases de los sonidos, de qué se componen, sobre cuáles puede hacerse la composición y cómo, y por qué estados [variaciones] es necesario que pasen hasta que su modo llegue a ser perfecto y completo. Lo que con este nombre se conoce son dos ciencias: ciencia de la música práctica, y ciencia de la música teórica. [49]

La música práctica es aquella que tiene por objeto encontrar los diversos sonidos perceptibles en los instrumentos que se enumeran, ya sean naturales, ya artificiales. Los instrumentos naturales son: la garganta, la úvula con las cosas que las componen, y, además, la nariz; los artificiales son: las flautas, los laúdes, &c. El músico práctico solamente ejecuta las melodías y sonidos con todas sus propiedades, en cuanto que están en los instrumentos de los cuales se arrancan.

La [música] especulativa da la ciencia de los sonidos, que es inteligible (?), da las causas de todo aquello que entra a componer los sonidos, no en cuanto que están en una materia, sino en absoluto y en cuanto que están separados de todo instrumento o materia; los toma en cuanto que son oídos en general, y averigua en qué instrumento se producen y en cuál no se producen.

Se divide la música especulativa en cinco grandes partes: 1ª, el tratado de los principios y primeras cosas que se deben emplear para la deducción de lo que hay en esta ciencia; de cómo se deben emplear estos principios; por qué métodos fue inventada esta arte, y de qué cosas y de cuántas se compone y de cómo conviene que se investigue lo que hay en ella; 2ª, el tratado sobre los fundamentos de esta arte, que abarca el tratado sobre el origen de los neumas, el conocimiento de cuánto es su número, cuántas son sus clases, las demostraciones de la relación de unos a otros y las demostraciones de todo esto; y el tratado sobre las clases de sus sitios y sus órdenes, con los cuales se pone de acuerdo para que tome de ellas cada uno [50] lo que quiera y con ellas componga las melodías; 3ª, el tratado de la adaptación a lo demostrado en los principios, las frases y las demostraciones sobre las clases de instrumentos artificiales que con ellos se preparan, y del invento de todos [los instrumentos] de ellos [los principios, &c.] y su sitio en ellos, según la medida y el orden que se demuestran en los principios; 4ª, el tratado sobre las clases de los acordes naturales que son las medidas de los neumas; 5ª, acerca de la composición de las melodías en general; además, acerca de la composición de las melodías completas, que son las utilizadas en frases poéticas compuestas según orden y regla; y acerca de la cualidad del arte de ellas, según cada una de las intenciones de las melodías; y la enseñanza de las melodías con las cuales se hacen más perfectas y más eficaces para la consecución del fin para que fueron compuestas.

Ciencia de los pesos [mecánica]

Considera lo propio de los pesos de dos modos: o tratando de los pesos en cuanto que miden o se mide con ellos, y esto es el examen de los fundamentos del tratado de las balanzas, o tratando de los pesos que se mueven o con los que se mueve, y esto es el examen de los fundamentos de los instrumentos con los que se elevan las cosas pesadas y sobre los cuales se las traslada de un lugar a otro. [51]

Ciencia de la ingeniería

Es la ciencia del modo de ordenar sobre la adaptación de todo aquello cuya existencia se demuestra en las ciencias que se han mencionado y demostrado, acerca de los cuerpos físicos, su invención, su sitio en las [ciencias] in actu. Pues todas estas ciencias solamente estudian las líneas, las superficies, los cuerpos, los números y las demás cosas que estudian, en cuanto que están consideradas como inteligibles separadas de los cuerpos físicos; y se necesita para la invención de todo esto y para su manifestación, voluntad y arte [empleadas] en los cuerpos físicos y sensibles, con las cuales se prepare su invención en ellos y su adaptación sobre ellos, antes que las materias y los cuerpos sensibles, circunstancial y accidentalmente, tengan algún obstáculo que impida colocar en ellos lo que ha sido demostrado con pruebas que pide ser colocado en ellos, por cualquier medio que esto suceda; por el contrario, es preciso que se allanen los cuerpos físicos para recibir en sí mismos lo que les corresponde de esta invención y se facilite la remoción de los obstáculos.

Las ciencias de los ingenieros son aquellas que dan los modos del conocimiento en las direcciones y los métodos en la facilidad [para remover los obstáculos] para la invención de esta arte y su exteriorización in actu en los cuerpos físicos y sensibles.

La ciencia de los ingenios una es aritmética, y tiene muchos respectos, y otra es la ciencia conocida [52] entre nosotros por Álgebra y Mocábala y lo semejante a esto. Pues esta ciencia es común con la aritmética y la geometría y se ocupa de los modos de dirección en la invención de los números que se deben usar, según los principios que da Euclices sobre los racionales y los sordos, en la cuestión décima de su libro de los Elementos, y según lo que no se cita en esta cuestión. Porque como que la relación mutua de los racionales y los sordos entre sí es como la relación de unos números a otros, todo número corresponde a una magnitud, ya sea racional, ya sorda; y si se encuentran los números que sean correspondientes a la relación de las magnitudes, se habrán encontrado estas magnitudes en cualquier aspecto. Por esto se ponen algunos números racionales para que sean correspondientes a las magnitudes racionales, y algunos números sordos para que sean correspondientes a las magnitudes sordas.

Las ciencias de los ingenios geométricos son muchas, entre ellos el arte de los órdenes de albañiles; el ingenio geométrico acerca de la medición de los distintos cuerpos; el ingenio en el arte de los instrumentos astronómicos y músicos, y el número de los instrumentos de muchas artes prácticas, como, por ejemplo, los arcos y las clases de armas; y el ingenio óptico en el arte de los instrumentos que dirigen la vista para comprender las realidades de las cosas que son vistas lejos de nosotros, y en el arte de los espejos y en la colocación de los espejos en los lugares en los cuales se devuelven los rayos para reflejarse, convertirse o refractarse, y de aquí también la colocación en los lugares en los que se devuelven los rayos del sol a otros [53] cuerpos; y de aquí proviene al arte de los espejos comburentes y el ingenio acerca de ella; y el ingenio en el arte en los pesos extraordinarios y de los instrumentos de muchas artes.

Estas y cosas parecidas integran las ciencias de los ingenios, que son los principios de las artes civiles prácticas, que se emplean respecto de los cuerpos, las figuras, los sitios, el orden y la medida, como las artes de los albañiles y carpinteros, &c.

Tales son las ciencias matemáticas y sus especies.

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